תוכן העניינים
\(\:\)עקרונות מנחים לכתיבת פקודותMacros LatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"
- כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
- כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
- הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
- על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר.
לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות. - כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
- לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKind}{\text{Ind}}\)אינדקס ליפוף. מרוכבות.
\(\newcommand{\MKres}{\text{Res}}\)שארית (residue). מרוכבות.
\(\:\)אינפי', יריעות ופונקציונלית\(\:\)
\(\newcommand{\MKarsinh}{\text{arsinh}}\)סינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKarcosh}{\text{arcosh}}\)קוסינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKartanh}{\text{artanh}}\)טנגנס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKar}{\text{ar}}\)יחס אורך-רוחב (aspect ratio). אינפי'.
\(\newcommand{\MKclos}{\text{Cl}}\)סגור (closure). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiam}{\text{diam}}\)קוטר (diameter). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiv}{\text{div}}\)דיברגנץ (divergence). יריעות.
\(\newcommand{\MKext}{\text{Ext}}\)חוץ (exterior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKint}{\text{Int}}\)פנים (interior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKop}{\text{op}}\)נורמה אופרטורית. אינפי'.
\(\newcommand{\MKvol}{\text{Vol}}\)נפח של קבוצה (volume). יריעות.
\(\newcommand{\MKsupp}{\text{Supp}}\)התומך של פונקציה (support). פונקציונלית.
\(\:\)אלגברה ליניארית ומבנים אלגבריים\(\:\)
\(\newcommand{\MKadj}{\text{adj}}\)המטריצה המצורפת (adjoint). ליניארית.
\(\newcommand{\MKaut}{\text{Aut}}\)חבורת האוטומורפיזמים. מבנים.
\(\newcommand{\MKchar}{\text{char}}\)המציין של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKcor}{\text{Core}}\)הליבה של חבורה (core). מבנים.
\(\newcommand{\MKend}{\text{End}}\)קבוצת האנדומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKfix}{\text{Fix}}\)קבוצת נקודות השבת של פונקציה או איבר בחבורה. מבנים.
\(\newcommand{\MKgal}{\text{Gal}}\)חבורת גלואה של הרחבת שדות. מבנים.
\(\newcommand{\MKgl}{\text{GL}}\)חבורת המטריצות ההפיכות. מבנים.
\(\newcommand{\MKhom}{\text{Hom}}\)קבוצת ההומומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKinn}{\text{Inn}}\)חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים (inner). מבנים.
\(\newcommand{\MKnull}{\text{null}}\)דרגת האפסיות של העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKorth}{\text{O}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות.
\(\newcommand{\MKout}{\text{Out}}\)חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים (outer). מבנים.
\(\newcommand{\MKrank}{\text{rk}}\)דרגה של מטריצה/העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKsep}{\text{sep}}\)משמש לסימון הסגור הספרבילי של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKsl}{\text{SL}}\)חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה\(1\). ליניארית ומבנים.
\(\newcommand{\MKso}{\text{SO}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKsu}{\text{SU}}\)חבורת המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKspan}{\text{span}}\)פרוש. ליניארית.
\(\newcommand{\MKtrace}{\text{tr}}\)עקבה (trace). ליניארית.
\(\:\)תורת הקבוצות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcupdot}{\mathbin{\cupdot}}\)איחוד זרתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\mathbin{\bigcupdot}}\)איחוד זר גדולתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdom}{\text{dom}}\)תחום ההגדרה של פונקציה (domain). קבוצות.
\(\newcommand{\MKrng}{\text{rng}}\)הטווח של פונקציה (range). קבוצות.
\(\renewcommand{\MKim}{\text{Im}}\)תמונה של פונקציה.מופיע גם כחלק מדומה של מספר מרוכב.
\(\newcommand{\MKsequ}{\text{Seq}}\)קבוצת הסדרות הסופיות של איברים מתוך קבוצה נתונה.
\(\:\)תורת ההסתברות\(\:\)
\(\newcommand{\MKalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{=}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKsmallalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\leq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKgreatalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\geq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKvar}{\text{Var}}\)שונות (variance).
\(\newcommand{\MKcovar}{\text{Cov}}\)שונות (co-variance).
\(\newcommand{\MKdist}{\overset{\text{d}}{=}}\)שוויון התפלגויות (distributions) בין משתנים מקריים.
\(\newcommand{\MKber}{\text{Ber}}\)התפלגות ברנולי.
\(\newcommand{\MKunif}{\text{Unif}}\)התפלגות אחידה.
\(\newcommand{\MKgeo}{\text{Geo}}\)התפלגות גאומטרית.
\(\newcommand{\MKbin}{\text{Bin}}\)התפלגות בינומית.
\(\newcommand{\MKpoi}{\text{Poi}}\)התפלגות פואסון.
\(\newcommand{\MKhypergeo}{\text{HG}}\)התפלגות היפר-גאומטרית.
\(\:\)שונותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKnotequiv}{\not\equiv}\)
\(\newcommand{\MKtickmark}{\textcolor{green}{\checkmark}}\)
\(\newcommand{\MKxmark}{{\color{red}\boldsymbol{\times}}}\)
\(\:\)מדעי המחשב\(\:\)
\(\newcommand{\MKdin}{d_{\text{in}}}\)דרגת הכניסה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKdout}{d_{\text{out}}}\)דרגת היציאה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKfalse}{\text{False}}\)ערך שקר של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\renewcommand{\MKnull}{\text{null}}\)ערךnull. דאסט.
\(\newcommand{\MKtrue}{\text{True}}\)ערך אמת של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\:\)פיזיקה\(\:\)
\(\newcommand{\MKtot}{\text{tot}}\)קיצור שלtotal, מכניקה.
\(\renewcommand{\MKext}{\text{ext}}\)קיצור שלexternal, מכניקה.
\(\newcommand{\MKconst}{\text{Const}}\)קיצור שלconstant, מכניקה.
\(\newcommand{\MKeff}{\text{eff}}\)קיצור שלeffective, מכניקה.
\(\:\)מספרים שלמים\(\:\)
\(\newcommand{\MKeven}{\text{Even}}\)קבוצת הזוגיים
\(\newcommand{\MKodd}{\text{Odd}}\)קבוצת האי-זוגיים
\(\newcommand{\MKprime}{\text{Prime}}\)קבוצת הראשוניים. תורת המספרים.
\(\:\)פונקציות שונות\(\:\)
\(\newcommand{\MKid}{\text{Id}}\)פונקציית הזהות.
\(\newcommand{\MKlcm}{\text{lcm}}\)כפולה משותפת מינימלית
\(\newcommand{\MKord}{\text{Ord}}\)סדר (order). תורת המספרים.
\(\newcommand{\MKsign}{\text{sgn}}\)פונקציית הסימן
\(\:\)גופניםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)גופןmathbb: הטבעיים, השלמים. הרציונליים. הממשיים. המרוכבים ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKbba}{\mathbb{A}}\)
\(\newcommand{\MKbbb}{\mathbb{B}}\)
\(\newcommand{\MKcomplex}{\mathbb{C}}\)המספרים המרוכבים
\(\newcommand{\MKbbd}{\mathbb{D}}\)
\(\newcommand{\MKbbe}{\mathbb{E}}\)
\(\newcommand{\MKfield}{\mathbb{F}}\)שדה
\(\newcommand{\MKbbg}{\mathbb{G}}\)
\(\newcommand{\MKbbh}{\mathbb{H}}\)
\(\newcommand{\MKbbi}{\mathbb{I}}\)
\(\newcommand{\MKbbj}{\mathbb{J}}\)
\(\newcommand{\MKbbk}{\mathbb{K}}\)
\(\newcommand{\MKbbl}{\mathbb{L}}\)
\(\newcommand{\MKbbm}{\mathbb{M}}\)
\(\newcommand{\MKnatural}{\mathbb{N}}\)המספרים הטבעיים
\(\newcommand{\MKbbo}{\mathbb{O}}\)
\(\newcommand{\MKbbp}{\mathbb{P}}\)
\(\newcommand{\MKrational}{\mathbb{Q}}\)המספרים הרציונליים
\(\newcommand{\MKreal}{\mathbb{R}}\)המספרים הממשיים
\(\newcommand{\MKbbs}{\mathbb{S}}\)
\(\newcommand{\MKbbt}{\mathbb{T}}\)
\(\newcommand{\MKbbu}{\mathbb{U}}\)
\(\newcommand{\MKbbv}{\mathbb{V}}\)
\(\newcommand{\MKbbw}{\mathbb{W}}\)
\(\newcommand{\MKbbx}{\mathbb{X}}\)
\(\newcommand{\MKbby}{\mathbb{Y}}\)
\(\newcommand{\MKinteger}{\mathbb{Z}}\)המספרים השלמים
\(\newcommand{\MKindicator}{\mathds{1}}\)פונקציה מציינת - אינדיקטור
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 התחלה
1.1 הגדרות
בנושא הקודם ראינו שהעתקות ליניאריות ממרחב וקטורי לעצמו מעוותות את המרחב בצורה מסוימת, טבעי מאד לשאול עד כמה העתקה ליניארית נתונה מותחת או מכווצת את המרחב שעליו היא פועלת.
כרגיל האינטואיציה שלנו היא המישור (\(\MKreal^{2}\)) והמרחב התלת-ממדי (\(\MKreal^{3}\)), וכדי לפשט את השאלה אנחנו נשאל פי כמה גדול או קטן השטח/הנפח של הריבוע/הקובייה המוגדרת ע"י וקטורי הבסיס הסטנדרטי - מכיוון שמדובר בהעתקה ליניארית התשובה לשאלה זו תיתן לנו את התשובה עבור כל המישור/המרחב. המשמעות של פישוט השאלה הנ"ל היא שאנו מחפשים פונקציה (שתיקרא הדטרמיננטה ותסומן ב-\(\det\)) שתקבל סדרה בת שני וקטורים מ-\(\MKreal^{2}\) או שלושה וקטורים מ-\(\MKreal^{3}\) (או \(n\) וקטורים מ-\(\MKreal^{n}\)) ותחזיר את השטח/הנפח של המקבילית/המקבילון המוגדרים ע"י וקטורים אלה; כפי שכבר הזכרנו לא פעם בעבר ניתן להסתכל על סדרה כזו גם כמטריצה1אין כאן שום בעיה מפני שמטריצה מעתיקה את וקטורי הבסיס הסטנדרטי אל הווקטורים המהווים את סדרת העמודות שלה, ולפיכך היא מותחת או מכווצת את המרחב בדיוק ע"פ היחס בין השטח/הנפח של המקבילית/המקבילון שמגדירות עמודותיה לבין זה שמגדירים וקטורי הבסיס הסטנדרטי. (ריבועית במקרה זה), ואכן אנו נגדיר את הדטרמיננטה כפונקציה ממרחב המטריצות הריבועיות לשדה.
הנה כמה דברים בסיסיים שהיינו רוצים לדרוש מהדטרמיננטה:
תהיינה \(A,B\in M_{n}\left(\MKreal\right)\) ונסמן את העמודה ה-\(i\) של \(A\) ב-\(a_{i}\) ואת זו של \(B\) ב-\(b_{i}\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
כרגיל האינטואיציה שלנו היא המישור (\(\MKreal^{2}\)) והמרחב התלת-ממדי (\(\MKreal^{3}\)), וכדי לפשט את השאלה אנחנו נשאל פי כמה גדול או קטן השטח/הנפח של הריבוע/הקובייה המוגדרת ע"י וקטורי הבסיס הסטנדרטי - מכיוון שמדובר בהעתקה ליניארית התשובה לשאלה זו תיתן לנו את התשובה עבור כל המישור/המרחב. המשמעות של פישוט השאלה הנ"ל היא שאנו מחפשים פונקציה (שתיקרא הדטרמיננטה ותסומן ב-\(\det\)) שתקבל סדרה בת שני וקטורים מ-\(\MKreal^{2}\) או שלושה וקטורים מ-\(\MKreal^{3}\) (או \(n\) וקטורים מ-\(\MKreal^{n}\)) ותחזיר את השטח/הנפח של המקבילית/המקבילון המוגדרים ע"י וקטורים אלה; כפי שכבר הזכרנו לא פעם בעבר ניתן להסתכל על סדרה כזו גם כמטריצה1אין כאן שום בעיה מפני שמטריצה מעתיקה את וקטורי הבסיס הסטנדרטי אל הווקטורים המהווים את סדרת העמודות שלה, ולפיכך היא מותחת או מכווצת את המרחב בדיוק ע"פ היחס בין השטח/הנפח של המקבילית/המקבילון שמגדירות עמודותיה לבין זה שמגדירים וקטורי הבסיס הסטנדרטי. (ריבועית במקרה זה), ואכן אנו נגדיר את הדטרמיננטה כפונקציה ממרחב המטריצות הריבועיות לשדה.
הנה כמה דברים בסיסיים שהיינו רוצים לדרוש מהדטרמיננטה:
תהיינה \(A,B\in M_{n}\left(\MKreal\right)\) ונסמן את העמודה ה-\(i\) של \(A\) ב-\(a_{i}\) ואת זו של \(B\) ב-\(b_{i}\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
- \(\det I_{n}=1\).
- אם \(A\) ו-\(B\) זהות בכל פרט לכך ש-\(b_{i}=c\cdot a_{i}\) (עבור \(c\in\MKreal\)2שימו לב ש-\(c\) יכול להיות שלילי, במקרה כזה אנחנו נקבל שטח/נפח "שלילי", כלומר השטח/הנפח שהדטרמיננטה מודדת הוא שטח/נפח מכוון. ו-\(n\geq i\in\MKnatural\)) ב-\(A\) אז \(\det B=c\cdot\det A\).
- אם \(A\) ו-\(B\) זהות בכל פרט לכך ש-\(b_{j}=a_{j}+c\cdot a_{i}\) (עבור \(c\in\MKreal\) ו-\(n\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\)) אז \(\det B=\det A\).
- הדרישה הראשונה היא סה"כ קובעת שיחידת המידה של השטח/הנפח שלנו היא השטח/הנפח של המקבילית/המקבילון המוגדרים ע"י וקטורי הבסיס הסטנדרטי (במקרה מדובר גם בריבוע/קובייה), אך אין זו דרישה הכרחית, ניתן היה לבחור כל מקבילית/מקבילון אחרים כאמת המידה שלנו.
- מתיחה של אחת הצלעות במקבילית/מקבילון ע"י כפל בסקלר מגדילה את השטח/הנפח בהתאם.
- הדרישה הרביעית נראית מוזרה מאוד במבט ראשון, לפני שאנסה לשכנע אתכם שהדטרמיננטה אכן צריכה לקיים אותה אני רוצה להבהיר במה אני צריך לשכנע אתכם: הטענה היא ששטח המקבילית המוגדרת ע"י הווקטורים \(a_{i}\) ו-\(a_{j}\) שווה לשטח המקבילית המוגדרת ע"י הווקטורים \(a_{i}\) ו-\(a_{j}+c\cdot a_{i}\) (לכל \(c\in\MKreal\)). כדי לשכנע אתכם אני רוצה שנשים לב לכך שהקבוצה \(\left\{ a_{j}+c\cdot a_{i}\mid c\in\MKreal\right\} \) היא ישר המכיל את \(a_{j}\) ומקביל לישר הנפרש ע"י \(a_{i}\) - מכאן שהגובה לצלע המוגדרת ע"י \(a_{i}\) לא השתנה, שהרי זהו המרחק שבין שני הישרים, ולכן גם שטחי המקביליות שווים!
איור 1: השטחים של כל המקביליות שווים משום שלכולן בסיס באותו אורך והגובה הוא המרחק שבין שני הישרים
הסבר:
במובן מסוים אנחנו מבצעים כאן דילוג מחשבתי: אנחנו רוצים לעסוק בשטחים ונפחים עוד לפני שיש לנו מושג מהו אורך במרחב וקטורי (על האורך נלמד בקורס הבא), למזלנו שלושהתכונות שראינו לעיל מספיקות כדי לאפיין את הדטרמיננטה, כלומר קיימת רק פונקציה אחת המקיימת את שלוש התכונות הנ"ל (נוכיח זאת בהמשך), זו גם הסיבה לכך שלא הבאתי כאן דרישות בסיסיות נוספות כגון: שאם אחת העמודות במטריצה היא כפולה של אחרת (או אפילו צר"ל של העמודות האחרות) אז הדטרמיננטה היא \(0\), שהדטרמיננטה של מטריצה אלכסונית היא מכפלת הסקלרים שעל האלכסון וכו'.
יהי \(V\) מרחב וקטורי נוצר סופית מעל לשדה \(\MKfield\) ונסמן \(n:=\dim V\).
הגדרה 1.1. פונקציית נפח
פונקציה \(D:V^{n}\rightarrow\MKfield\) תיקרא פונקציית נפח אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
פונקציה \(D:V^{n}\rightarrow\MKfield\) תיקרא פונקציית נפח אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
- לכל \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in V\), לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(c\in\MKfield\) מתקיים \(D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}c\cdot v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)=\boldsymbol{{\color{red}c}}\cdot D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\).
- לכל \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in V\), לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\) ולכל \(c\in\MKfield\) מתקיים \(D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}+c\cdot v_{j}}},v_{i-1},,\ldots,v_{n}\right)=D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\).
- \(\clubsuit\)
- את האינטואיציה שמאחורי הגדרה זו כבר ראינו לעיל אלא שכאן אנו עובדים עם מרחב וקטורי כללי ולכן אין לנו את בסיס סטנדרטי שיהווה את אמת המידה.
- \(\clubsuit\)
- אם \(V=\MKfield^{n}\) נוכל להתייחס ל-\(V^{n}\) כ-\(M_{n}\left(\MKfield\right)\) ואז התכונה הראשונה אומרת שהכפלת אחת העמודות בסקלר מכפילה את התמונה באותו סקלר, ואילו התכונה השנייה אומרת שהוספת כפולה של עמודה אחת לאחרת אינה משנה את התמונה.
- \(\clubsuit\)
- שימו לב לדמיון שבין התכונות הללו לשתי פעולות השורה האלמנטריות האחרונות (הכפלת שורה בסקלר והוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת).
- \(\clubsuit\)
- ניתן היה להחליף את התכונה השנייה בכך שמתקיים \(D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i}+v_{j},\ldots,v_{n}\right)=D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) (ללא כפל בסקלר) משום שיחד עם התכונה הראשונה יתקיים (נניח בהג"כ ש-\(i<j\) וש-\(c\neq0\)):\[\begin{align*} D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i}+c\cdot v_{j},\ldots,v_{j}\ldots,v_{n}\right) & =D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i}+c\cdot v_{j},\ldots,c^{-1}\cdot c\cdot v_{j}\ldots,v_{n}\right)\\ & =c^{-1}\cdot D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i}+c\cdot v_{j},\ldots,c\cdot v_{j}\ldots,v_{n}\right)\\ & =c^{-1}\cdot D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i},\ldots,c\cdot v_{j}\ldots,v_{n}\right)\\ & =c^{-1}\cdot c\cdot D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i},\ldots,v_{j}\ldots,v_{n}\right)=D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right) \end{align*}\]למרות זאת בחרתי להגדיר את התכונה השנייה משום שאינני מחזיק בשיטה האומרת "נניח כמה שפחות כל עוד נרוויח את אותו הדבר", לדעתי המהות (האינטואיטיבית) של פונקציית נפח אינה מבדילה בין הוספה של וקטור לבין הוספה של כפולה שלו (כפי שהסברתי לעיל) ולכן גם ההגדרה הפורמלית לא צריכה להבדיל ביניהן.
- \(\clubsuit\)
- גם פונקציית האפס היא פונקציית נפח ע"פ הגדרה זו.
- \(\clubsuit\)
- במקומות אחרים מגדירים פונקציית נפח ע"י מולטי-ליניאריות והתחלפות ו/או מגדירים פונקציות נפח על מטריצות ריבועיות בלבד (ולא על סדרות וקטורים), אנחנו נראה שההגדרה ע"י מולטי-ליניאריות והתחלפות שקולה לזו שהגדרנו ושהיא מהווה הכללה של ההגדרה עבור מטריצות.
- \(\clubsuit\)
- אנחנו רוצים את שתי התכונות בפונקציה מתחלפת: החלפת זה בזה הופכת את הסימן ושני וקטורים זהים מאפסים את התמונה, הבעיה היא שהתכונה השנייה אמנם גוררת את הראשונה תמיד3מובאת כאן הוכחה עבור \(n=2\) אבל הוכחה זו תקפה לכל \(1<n\in\MKnatural\) עם ההתאמות נדרשות.:\[ 0=f\left(v+w,v+w\right)={\color{red}f\left(v,v\right)}+f\left(v,w\right)+f\left(w,v\right)+{\color{red}f\left(w,w\right)}=f\left(v,w\right)+f\left(w,v\right) \]אבל כדי שהראשונה תגרור את השנייה עלינו להניח ש-\(1+1\neq0\)4גם הוכחה זו תקפה לכל \(1<n\in\MKnatural\) עם ההתאמות הנדרשות.:\[ f\left(v,v\right)=-f\left(v,v\right) \]\[ \Rightarrow\left(1+1\right)\cdot f\left(v,v\right)=f\left(v,v\right)+f\left(v,v\right)=0 \]אם למישהו יש הוכחה לכך שגם כאשר \(1+1=0\) התכונה הראשונה גוררת את השנייה, או לחלופין: יש דוגמה לפונקציה מולטי-ליניארית המקיימת את התכונה הראשונה ואינה מקיימת את התכונה השנייה - אשמח לשמוע על כך.
- \(\clubsuit\)
- יש המגדירים את התכונות הללו עבור שני וקטורים באינדקסים סמוכים, זה לא משנה מפני שניתן להחליף שני וקטורים שאינם סמוכים ע"י סדרה של החלפות של וקטורים סמוכים ובכל סדרה כזו יש מספר אי-זוגי של מהלכים שכל אחד מהם הופך את הסימן5באותה דרך שהוכחנו קודם שכל החלפה הופכת את הסימן נוכיח כעת שכל החלפה של וקטורים סמוכים הופכת את הסימן. כך שבסופו של דבר אנחנו מקבלים את הנגדי.
- \(\clubsuit\)
- כבר עכשיו ניתן לראות מהתכונה השנייה שהערך שמחזירה פונקציית נפח עבור מטריצה משולשית שווה לערך שהיא מחזירה עבור המטריצה האלכסונית שיש לה את אותו אלכסון ראשי.
- \(\clubsuit\)
- במקומות אחרים מגדירים מולטי-ליניאריות והתחלפות ע"פ שורות המטריצה ולא ע"פ העמודות, אנחנו נראה שזה לא משנה מפני שלכל פונקציית נפח מתקיים \(f\left(A^{t}\right)=f\left(A\right)\) וכל פונקציה מולטי-ליניארית מתחלפת היא פונקציית נפח6אנחנו לא מתעניינים כרגע בפונקציות מולטי-ליניאריות שאינן מתחלפות..
יהי \(V\) מרחב וקטורי מעל לשדה \(\MKfield\).
הגדרה 1.2. מולטי-ליניאריות
נאמר שפונקציה \(f:V^{n}\rightarrow\MKfield\) היא מולטי-ליניארית אם היא ליניארית בכל רכיב בנפרד;
כלומר לכל \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in V\), לכל \(w\in V\) ולכל \(c\in\MKfield\) מתקיים (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)):\[\begin{align*} f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},\ldots,v_{n}\right)+f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\\ f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}c}}\cdot\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) & =\boldsymbol{{\color{blue}c}}\cdot f\left(v_{1},v_{2},\ldots,\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},\ldots,v_{n}\right) \end{align*}\]
נאמר שפונקציה \(f:V^{n}\rightarrow\MKfield\) היא מולטי-ליניארית אם היא ליניארית בכל רכיב בנפרד;
כלומר לכל \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in V\), לכל \(w\in V\) ולכל \(c\in\MKfield\) מתקיים (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)):\[\begin{align*} f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},\ldots,v_{n}\right)+f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\\ f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}c}}\cdot\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) & =\boldsymbol{{\color{blue}c}}\cdot f\left(v_{1},v_{2},\ldots,\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},\ldots,v_{n}\right) \end{align*}\]
הגדרה 1.3. התחלפות
- נניח שב-\(\MKfield\) מתקיים \(1+1\neq0\)7כלומר המאפיין של \(\MKfield\) אינו \(2\)., נאמר שפונקציה מולטי-ליניארית \(f:V^{n}\rightarrow\MKfield\) היא מתחלפת אם לכל \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in V\)מתקיים:\[ f\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{i+1}\ldots,v_{j-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{j+1},\ldots,v_{n}\right)=-f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right) \]כלומר החלפת שני וקטורים זה בזה הופכת את הסימן של התמונה.
- נניח שב-\(\MKfield\) מתקיים \(1+1=0\), נאמר שפונקציה מולטי-ליניארית \(f:V^{n}\rightarrow\MKfield\) היא מתחלפת אם לכל \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in V\)כך ש-\(v_{i}=v_{j}\) ו-\(i\neq j\) (לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\)) מתקיים \(f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=0\).
נניח כעת ש-\(V=\MKfield^{n}\) ונשתמש באיזומורפיזם בין \(V^{n}\) ל-\(M_{n}\left(\MKfield\right)\).
הגדרה 1.4. פונקציית נפח במרחב הקואורדינטות
פונקציה \(D:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) תיקרא פונקציית נפח אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
פונקציה \(D:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) תיקרא פונקציית נפח אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
- לכל שתי מטריצות \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\), אם \(A\) מתקבלת מ-\(B\) ע"י כפל עמודה כלשהי בסקלר \(c\in\MKfield\) אז \(D\left(A\right)=c\cdot D\left(B\right)\).
- לכל שתי מטריצות \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\), אם \(A\) מתקבלת מ-\(B\) ע"י הוספת כפולה של עמודה אחת לעמודה אחרת אז \(D\left(A\right)=D\left(B\right)\).
הגדרה 1.5. מולטי-ליניאריות במרחב הקואורדינטות
נאמר שפונקציה \(f:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) היא מולטי-ליניארית אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
נאמר שפונקציה \(f:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) היא מולטי-ליניארית אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:
- לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(c_{1},c_{2},\ldots,c_{i},c_{i}',\ldots,c_{n}\in\MKfield^{n}\) מתקיים\[ f\left(\left[\begin{array}{cccccc} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ c_{1} & c_{2} & \cdots & \boldsymbol{{\color{red}c_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}c_{i}'}} & \cdots & c_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)=f\left(\left[\begin{array}{cccccc} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ c_{1} & c_{2} & \cdots & \boldsymbol{{\color{red}c_{i}}} & \cdots & c_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)+f\left(\left[\begin{array}{cccccc} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ c_{1} & c_{2} & \cdots & \boldsymbol{{\color{blue}c_{i}'}} & \cdots & c_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right) \]
- לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(x\in\MKfield\) מתקיים\[ f\left(\left[\begin{array}{cccccc} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ c_{1} & c_{2} & \cdots & \boldsymbol{{\color{blue}x}}\cdot\boldsymbol{{\color{red}c_{i}}} & \cdots & c_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)=\boldsymbol{{\color{blue}x}}\cdot f\left(\left[\begin{array}{cccccc} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ c_{1} & c_{2} & \cdots & \boldsymbol{{\color{red}c_{i}}} & \cdots & c_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right) \]
הגדרה 1.6. התחלפות במרחב הקואורדינטות
- נניח שב-\(\MKfield\) מתקיים \(1+1\neq0\), נאמר שפונקציה \(f:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) היא מתחלפת אם לכל \(c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}\in\MKfield^{n}\) ולכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i<j\) מתקיים:\[ f\left(\left[\begin{array}{cccccccccccc} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{i-1} & \boldsymbol{{\color{blue}c_{j}}} & c_{i+1} & \cdots & c_{j-1} & \boldsymbol{{\color{red}c_{i}}} & c_{j+1} & \cdots & c_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)=-f\left(\left[\begin{array}{cccc} \mid & \mid & \mid & \mid\\ c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right) \]
- נניח שב-\(\MKfield\) מתקיים \(1+1\neq0\), נאמר שפונקציה \(f:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) היא מתחלפת אם לכל מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) בעלת שתי עמודות זהות מתקיים \(f\left(A\right)=0\).
1.2 במרחב וקטורי כללי
יהי \(V\) מרחב וקטורי נוצר סופית מעל לשדה \(\MKfield\) כך ש-\(\dim V>0\), נסמן \(n:=\dim V\).
נניח שקיימת פונקציית נפח \(D:V^{n}\rightarrow\MKfield\), תהא \(D\) כנ"ל ויהיו \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in V\).
טענה 1.7. אם קיים \(n\geq i\in\MKnatural\) כך ש-\(v_{i}=0_{V}\) אז \(D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=0\).
הוכחה. הטענה נובעת ישירות מהתכונה הראשונה של פונקציות נפח: אם \(v_{i}=0\) אז\(v_{i}=0\cdot v_{i}\) ולכן \(D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=0\cdot D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=0\).
מסקנה 1.8. אם הסדרה \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) תלויה ליניארית אז \(D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=0\).
- \(\clubsuit\)
- כלומר אם \(D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\neq0\) אז הסדרה \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) בת"ל וממילא היא בסיס של \(V\), אנחנו נראה בהמשך שגם הכיוון ההפוך נכון (אלא אם \(D\) היא פונקציית האפס).
- \(\clubsuit\)
- כלומר החלפה של שני וקטורים זה בזה משנה את הסימן של נפח ה"מקבילון", הטענה הזו אינטואיטיבית למדי: החלפה של שני וקטורים שקולה לשיקוף סביב ציר הסימטרייה שלהם (בסימוני הטענה ציר הסימטרייה הוא \(\MKspan\left(\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}}\right)\)) ושיקוף אכן משנה את הסימן של שטח/נפח מכוון. מי שזה לא מספיק לו מוזמן להסתכל על החלפה של שני צירים כהכפלת אחד מהם ב-\(-1\) ואז סיבוב ב-\(90^{\circ}\), אין ספק שהכפל ב-\(-1\) צריך לשנות את הסימן ושהסיבוב אינו משנה דבר בכל הקשור לשטחים ונפחים.
- סימון:
- לכל פעולת שורה אלמנטרית \(\varepsilon:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow M_{n}\left(\MKfield\right)\) נתאים פונקציה \(\varepsilon^{*}:V^{n}\rightarrow V^{n}\) המהווה את פעולת ה"עמודה" האלמנטרית המקבילה, כלומר8שימו לב שלא מדובר ממש בפעולת "עמודה" מפני ש-\(V\) אינו בהכרח מרחב קואורדינטות.:
- אם \(\varepsilon\) היא החלפת השורות ה-\(i\) וה-\(j\) זו בזו (\(n\geq i,j\in\MKnatural\)) אז\[ \varepsilon^{*}\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},{\color{blue}v_{j}},v_{i+1}\ldots,v_{j-1},{\color{red}v_{i}},v_{j+1},\ldots,v_{n}\right) \]
- אם \(\varepsilon\) הכפלת השורה ה-\(i\) בסקלר \(0\neq c\in\MKfield\) (\(n\geq i\in\MKnatural\)) אז\[ \varepsilon^{*}\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},{\color{red}v_{i}+c\cdot v_{j}},v_{i-1},,\ldots,v_{n}\right) \]
- אם \(\varepsilon\) היא הוספת כפולה של שורה \(j\) (בסקלר \(0\neq c\in\MKfield\)) לשורה \(i\) (\(n\geq i,j\in\MKnatural\) ו-\(i\neq j\)) אז\[ \varepsilon^{*}\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},{\color{red}c\cdot v_{i}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) \]
- סימון:
- תהא \(\varepsilon^{*}:V^{n}\rightarrow V^{n}\) פעולת "עמודה" אלמנטרית, נסמן ב-\(\mu\left(\varepsilon^{*}\right)\) את קבוע הפעולה \(\varepsilon^{*}\), כאשר:
- אם \(\varepsilon^{*}\) היא החלפה של שני וקטורים זה בזה אז \(\mu\left(\varepsilon^{*}\right):=-1\).
- אם \(\varepsilon^{*}\) היא הכפלת וקטור מסוים בסקלר \(0\neq c\in\MKreal\) אז \(\mu\left(\varepsilon^{*}\right):=c\).
- אם \(\varepsilon^{*}\) היא הוספת כפולה של וקטור אחד לאחר אז \(\mu\left(\varepsilon^{*}\right):=1\).
- \(\clubsuit\)
- כדי להבין את האינטואיציה לטענה זו נזכור שניתן להתייחס למטריצה כסדרה של וקטורים במרחב הקואורדינטות ונשים לב לכך שכדי להפעיל על מטריצה \(A\) פעולת "עמודה" אלמנטרית יש לשחלף אותה, להפעיל עליה את פעולת השורה המקבילה ולשחלף בחזרה, כלומר:\[ \varepsilon^{*}\left(A\right)=\left(\varepsilon\left(A^{t}\right)\right)^{t}=\left(E\cdot A^{t}\right)^{t}=A\cdot E^{t} \]
- \(\clubsuit\)
- כלומר כל פונקציות הנפח נבדלות זו מזו בכפל בקבוע בלבד.
- \(\clubsuit\)
- אנחנו נראה בהמשך שאכן קיימת פונקציית נפח שאינה פונקציית האפס.
הוכחה. נניח שהסדרה \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) תלויה ליניארית ובהג"כ נניח ש-\(v_{n}\) ניתן להצגה כצר"ל של שאר הווקטורים בסדרה.
יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n-1}\in\MKfield\) כך שמתקיים \(v_{n}=\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}\cdot v_{i}\), מהתכונה השנייה של פונקציות נפח נובע כי:\[\begin{align*} D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right) & =D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1},\sum_{i=1}^{{\color{red}n-1}}a_{i}\cdot v_{i}\right)=D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1},\sum_{i=1}^{{\color{red}n-2}}a_{i}\cdot v_{i}\right)\\ & =D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1},\sum_{i=1}^{{\color{red}n-3}}a_{i}\cdot v_{i}\right)=\ldots=D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1},0_{V}+a_{{\color{red}1}}\cdot v_{{\color{red}1}}\right)=D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1},0_{V}\right) \end{align*}\]ולכן מהטענה הקודמת (1.1) נובע ש-\(D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=0\).
יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n-1}\in\MKfield\) כך שמתקיים \(v_{n}=\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}\cdot v_{i}\), מהתכונה השנייה של פונקציות נפח נובע כי:\[\begin{align*} D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right) & =D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1},\sum_{i=1}^{{\color{red}n-1}}a_{i}\cdot v_{i}\right)=D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1},\sum_{i=1}^{{\color{red}n-2}}a_{i}\cdot v_{i}\right)\\ & =D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1},\sum_{i=1}^{{\color{red}n-3}}a_{i}\cdot v_{i}\right)=\ldots=D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1},0_{V}+a_{{\color{red}1}}\cdot v_{{\color{red}1}}\right)=D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n-1},0_{V}\right) \end{align*}\]ולכן מהטענה הקודמת (1.1) נובע ש-\(D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=0\).
טענה 1.9. יהיו \(n\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i<j\), מתקיים:\[
D\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{i+1}\ldots,v_{j-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{j+1},\ldots,v_{n}\right)=-D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)
\]
הוכחה. מהתכונה השנייה של פונקציות נפח נפח נובע כי:\[\begin{align*}
D\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{i+1}\ldots,v_{j-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{j+1},\ldots,v_{n}\right) & =D\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{i+1}\ldots,v_{j-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{j+1},\ldots,v_{n}\right)\\
& =D\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}}-\left(\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}}\right),v_{i+1}\ldots,v_{j-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{j+1},\ldots,v_{n}\right)\\
& =D\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}-v_{i}}},v_{i+1}\ldots,v_{j-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{j+1},\ldots,v_{n}\right)\\
& =D\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}-v_{i}}},v_{i+1}\ldots,v_{j-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}}+\left(\boldsymbol{{\color{red}-v_{i}}}\right),v_{j+1},\ldots,v_{n}\right)\\
& =D\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}-v_{i}}},v_{i+1}\ldots,v_{j-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{j+1},\ldots,v_{n}\right)
\end{align*}\]ולכן מהתכונה הראשונה נקבל:\[\begin{align*}
D\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{i+1}\ldots,v_{j-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{j+1},\ldots,v_{n}\right) & =D\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},\boldsymbol{{\color{green}-1}}\cdot\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1}\ldots,v_{j-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{j+1},\ldots,v_{n}\right)\\
& =\boldsymbol{{\color{green}-1}}\cdot D\left(v_{1},v_{2},\ldots v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1}\ldots,v_{j-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{j+1},\ldots,v_{n}\right)\\
& =-D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)
\end{align*}\]
טענה 1.10. תהא \(\varepsilon^{*}:V^{n}\rightarrow V^{n}\) פעולת "עמודה" אלמנטרית, מתקיים:\[
D\left(\varepsilon^{*}\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\right)=D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\cdot\mu\left(\varepsilon^{*}\right)
\]
הוכחה. נחלק למקרים:
- אם \(\varepsilon^{*}\) היא החלפה של שני וקטורים זה בזה אז הטענה נובעת מהטענה האחרונה (1.3).
- אם \(\varepsilon^{*}\) היא הכפלת וקטור מסוים בסקלר אז הטענה היא פשוט התכונה הראשונה של פונקציות נפח.
- אם \(\varepsilon^{*}\) היא הוספת כפולה של וקטור אחד לאחר אז אז הטענה נובעת ישירות מהתכונה השנייה של פונקציות נפח.
מסקנה 1.11. תהיינה \(\varepsilon_{1}^{*},\varepsilon_{2}^{*},\ldots,\varepsilon_{r}^{*}:V^{n}\rightarrow V^{n}\) פעולות "עמודה" אלמנטריות, מתקיים:\[
D\left(\varepsilon_{r}^{*}\left(\varepsilon_{r-1}^{*}\left(\ldots\varepsilon_{2}^{*}\left(\varepsilon_{1}^{*}\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\right)\right)\right)\right)=D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\cdot\mu\left(\varepsilon_{1}^{*}\right)\cdot\mu\left(\varepsilon_{2}^{*}\right)\cdot\ldots\cdot\mu\left(\varepsilon_{r}^{*}\right)
\]
טענה 1.12. תהא \(\varepsilon\) פעולת שורה אלמנטרית ותהא \(E\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) המטריצה האלמנטרית המתאימה לה, מתקיים:\[
\varepsilon^{*}\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\cdot E^{t}
\]
למה 1.13. מטריצה \(E\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) היא מטריצה אלמנטרית אם"ם גם \(E^{t}\) היא מטריצה אלמנטרית.
יתרה מזאת: אם \(E\) מתאימה להחלפת שורות או לכפל שורה בסקלר אז \(E=E^{t}\) (כלומר \(E\) סימטרית ו-\(E^{t}\) מתאימה לאותה פעולת שורה),
ואם \(E\) מתאימה להוספת כפולה של השורה ה-\(j\) לשורה ה-\(i\) אז \(E^{t}\) מתאימה להוספת אותה כפולה של השורה ה-\(i\) לשורה ה-\(j\).
יתרה מזאת: אם \(E\) מתאימה להחלפת שורות או לכפל שורה בסקלר אז \(E=E^{t}\) (כלומר \(E\) סימטרית ו-\(E^{t}\) מתאימה לאותה פעולת שורה),
ואם \(E\) מתאימה להוספת כפולה של השורה ה-\(j\) לשורה ה-\(i\) אז \(E^{t}\) מתאימה להוספת אותה כפולה של השורה ה-\(i\) לשורה ה-\(j\).
מסקנה 1.14. יהיו \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) בסיסים סדורים של \(V\), תהיינה \(E_{1},E_{2},\ldots,E_{r}\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצות אלמנטריות כך שמתקיים:\[
\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}=\left(E_{1}\right)^{t}\cdot\left(E_{2}\right)^{t}\cdot\ldots\cdot\left(E_{r}\right)^{t}
\]ותהיינה \(\varepsilon_{1}^{*},\varepsilon_{2}^{*},\ldots,\varepsilon_{r}^{*}:V^{n}\rightarrow V^{n}\) פעולות העמודה האלמנטריות המתאימות; מתקיים:\[
D\left(\MKclc\right)=D\left(\MKclb\right)\cdot\mu\left(\varepsilon_{1}^{*}\right)\cdot\mu\left(\varepsilon_{2}^{*}\right)\cdot\ldots\cdot\mu\left(\varepsilon_{r}^{*}\right)
\]
מסקנה 1.15. נניח ש-\(D\) אינה פונקציית האפס ויהי \(\MKclb\) בסיס סדור של \(V\) כך ש-\(D\left(\MKclb\right)\neq0\)9כזכור אם פונקציית נפח מחזירה ערך שונה מ-\(0\) אז מדובר בבסיס..
לכל פונקציית נפח \(D':V^{n}\rightarrow\MKfield\) מתקיים:\[ D'\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=\frac{D'\left(\MKclb\right)}{D\left(\MKclb\right)}\cdot D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right) \]
לכל פונקציית נפח \(D':V^{n}\rightarrow\MKfield\) מתקיים:\[ D'\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)=\frac{D'\left(\MKclb\right)}{D\left(\MKclb\right)}\cdot D\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right) \]
מסקנה 1.16. אם \(D\) אינה פונקציית האפס אז לכל בסיס סדור \(\MKclb\) (של \(V\)) מתקיים \(D\left(\MKclb\right)\neq0\).
טענה 1.17. קבוצת פונקציות הנפח היא מרחב וקטורי מעל \(\MKfield\) ובפרט היא סגורה לחיבור ולכפל בסקלר, כלומר לכל שתי פונקציות נפח \(D_{1}\) ו-\(D_{2}\) גם \(D_{1}+D_{2}\) היא פונקציית נפח ולכל \(c\in\MKfield\) גם \(c\cdot D\) היא פונקציית נפח.
מסקנה 1.18. אם קיימת פונקציית נפח \(D':V^{n}\rightarrow\MKfield\) שאינה פונקציית האפס אז לכל בסיס סדור \(\MKclb\) (של \(V\)) קיימת פונקציית נפח \(D_{\MKclb}:V^{n}\rightarrow\MKfield\) יחידה כך ש-\(D_{\MKclb}\left(\MKclb\right)=1\).
1.3 מולטי-ליניאריות והתחלפות
משפט 1.19. פונקציה \(f:V^{n}\rightarrow\MKfield\) היא פונקציית נפח אם"ם היא מולטי-ליניארית ומתחלפת.
- \(\clubsuit\)
- מהגדרה כל פונקציית נפח היא כפלית בכל רכיב (התכונה הראשונה) ומטענה 1.3 נובע שכל פונקציית נפח גם מתחלפת (אם ב-\(\MKfield\) מתקיים \(1+1=0\) אז נקבל זאת ממסקנה 1.2), אבל למה פונקציית נפח גם חיבורית בכל רכיב? אני מאמין שכדי להסביר את האינטואיציה כאן אין טוב יותר ממראה עיניים:המקבילית הכחולה היא זו שנפרשת ע"י \(\boldsymbol{{\color{red}v}}\) ו-\(\boldsymbol{{\color{blue}w}}\), הירוקה היא זו של \(\boldsymbol{{\color{red}v}}\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}u}}\) ואילו האדומה נפרשת ע"י \(\boldsymbol{{\color{red}v}}\) ו-\(\boldsymbol{{\color{blue}w}}+\boldsymbol{{\color{green}u}}\); חפיפת משולשים פשוטה מראה ששטחה של האדומה שווה לסכום שטחיהן של האחרות.
איור 2: פונקציית נפח היא חיבורית
הוכחה. \(\:\)
- \(\Leftarrow\)
נניח ש-\(f\) היא פונקציית נפח, כפי שראינו לעיל נותר לנו להוכיח רק ש-\(f\) חיבורית בכל רכיב בנפרד.
יהיו \(\boldsymbol{{\color{blue}w}}\in V\) ו-\(n\geq i\in\MKnatural\), אנחנו צריכים להוכיח שמתקיים:\[ f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)=f\left(v_{1},v_{2},\ldots,\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},\ldots,v_{n}\right)+f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) \]נחלק למקרים:- אם הסדרה \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\) תלויה ליניארית אז ממסקנה 1.2 נובע ששני האגפים שווים ל-\(0\).
- אם הסדרה \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\) בת"ל אבל הסדרה \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) תלויה ליניארית אז \(v_{i}\) ניתן להצגה כצר"ל של שאר הווקטורים בסדרה , מכאן שע"פ התכונה השנייה של פונקציות נפח וע"פ המסקנה הנ"ל מתקיים:\[\begin{align*} f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\\ f\left(v_{1},v_{2},\ldots,\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},\ldots,v_{n}\right) & =0 \end{align*}\]ושוב קיבלנו את השוויון המבוקש.
- אם הסדרה \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) בת"ל אז היא בסיס, א"כ יהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{w=\sum_{j=1}^{n}a_{j}\cdot v_{j}}}\), מהתכונה השנייה של פונקציות נפח נובע כי:\[\begin{align*} f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}\sum_{j=1}^{n}a_{j}\cdot v_{j}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\\ & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}a_{i}}}\cdot\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\\ & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\left(1+\boldsymbol{{\color{blue}a_{i}}}\right)\cdot\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\\ f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}\sum_{j=1}^{n}a_{j}\cdot v_{j}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\\ & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}a_{i}}}\cdot\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) \end{align*}\]ולכן ע"פ התכונה הראשונה מתקיים:\[\begin{align*} f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) & =\left(1+\boldsymbol{{\color{blue}a_{i}}}\right)\cdot f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\\ & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)+\boldsymbol{{\color{blue}a_{i}}}\cdot f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\\ & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)+f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}a_{i}}}\cdot\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)\\ & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right)+f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}w}},v_{i+1},\ldots,v_{n}\right) \end{align*}\]כנדרש.
- \(\Rightarrow\)
נניח ש-\(f\) מולטי-ליניארית ומתחלפת, מהגדרה \(f\) מקיימת את התכונה הראשונה של פונקציות נפח ולכן נותר לנו להוכיח רק את השנייה.
יהיו \(c\in\MKfield\) ו-\(n\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\), מהיותה של \(f\) מולטי-ליניארית נובע כי:\[ f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+c\cdot\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{i-1},,\ldots,v_{n}\right)=f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i-1},,\ldots,v_{n}\right)+c\cdot f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{i-1},,\ldots,v_{n}\right) \]מכיוון ש-\(i\neq j\) נדע שבסדרה \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{i-1},,\ldots,v_{n}\right)\) ישנם שני וקטורים זהים ולכן מההתחלפות של \(f\) נובע ש-\(f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{i-1},,\ldots,v_{n}\right)=0\).\[\begin{align*} \Rightarrow f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}}+c\cdot\boldsymbol{{\color{blue}v_{j}}},v_{i-1},,\ldots,v_{n}\right) & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i-1},,\ldots,v_{n}\right)+c\cdot0\\ & =f\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{i-1},\boldsymbol{{\color{red}v_{i}}},v_{i-1},,\ldots,v_{n}\right) \end{align*}\]
1.4 במרחב הקואורדינטות
נניח כעת ש-\(V=\MKfield^{n}\) ונשתמש באיזומורפיזם בין \(V^{n}\) ל-\(M_{n}\left(\MKfield\right)\), א"כ \(D\) היא פונקציה מ-\(M_{n}\left(\MKfield\right)\) ל-\(\MKfield\) ופעולות "עמודה" אלמנטריות הן באמת פעולות עמודה.
- \(\clubsuit\)
- כל הטענות הבאות הן הטענות שראינו עבור מרחב וקטורי כללי כשהפעם הן מנוסחות בשפה של מטריצות.
- \(\clubsuit\)
- כלומר המטריצה המתאימה לפעולת עמודה היא המשוחלפת של המטריצה המתאימה לפעולת השורה המקבילה.
- \(\clubsuit\)
- המסקנה הקודמת (1.19) מאפשרת לנו לחשב במהירות את הערך שמחזירה \(D\) לכל מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) אם אנחנו יודעים את הערך של \(D\left(I_{n}\right)\): נדרג את המטריצה ונכפול את \(D\left(I_{n}\right)\) בסקלרים המתאימים, ממסקנה זו נובע שאנחנו יכולים לדרג כרגיל (לפי שורות) ואין צורך לעבוד לפי עמודות.
טענה 1.20. לכל פעולת שורה אלמנטרית מתקיים \(\varepsilon^{*}\left(I_{n}\right)=\left(\varepsilon\left(I_{n}\right)\right)^{t}\).
טענה 1.21. תהיינה \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\), מתקיים:
- אם \(A\) מתקבלת מ-\(B\) ע"י החלפת עמודות אז \(D\left(A\right)=-D\left(B\right)\).
- אם \(A\) מתקבלת מ-\(B\) ע"י כפל עמודה כלשהי בסקלר \(c\in\MKfield\) אז \(D\left(A\right)=c\cdot D\left(B\right)\).
- אם \(A\) מתקבלת מ-\(B\) ע"י הוספת כפולה של עמודה אחת לעמודה אחרת אז \(D\left(A\right)=D\left(B\right)\).
מסקנה 1.22. תהיינה \(A,E\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) כך ש-\(E\) היא מטריצה אלמנטרית, מתקיים:
- אם \(E\) היא מטריצה המתאימה להחלפת שורות אז \(D\left(A\cdot E^{t}\right)=-D\left(A\right)\).
- אם \(E\) היא מטריצה המתאימה לכפל שורה בסקלר \(0\neq c\in\MKfield\) אז \(D\left(A\cdot E^{t}\right)=c\cdot D\left(A\right)\).
- אם \(E\) היא מטריצה המתאימה להוספת כפולה של שורה אחת לאחרת אז \(D\left(A\cdot E^{t}\right)=D\left(A\right)\).
נניח ש-\(D\) אינה פונקציית האפס.
מסקנה 1.23. \(D\left(I_{n}\right)\neq0\).
טענה 1.24. לכל פונקציית נפח \(D':M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) שאינה פונקציית האפס ולכל מטריצה אלמנטרית \(E\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים:\[
\frac{D\left(E^{t}\right)}{D\left(I_{n}\right)}=\frac{D\left(E\right)}{D\left(I_{n}\right)}=\frac{D'\left(E\right)}{D'\left(I_{n}\right)}=\frac{D'\left(E^{t}\right)}{D'\left(I_{n}\right)}
\]
מסקנה 1.25. תהא \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה הפיכה ותהיינה \(E_{1},E_{2},\ldots,E_{r}\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצות אלמנטריות כך ש-\(P=\left(E_{1}\right)^{t}\cdot\left(E_{2}\right)^{t}\cdot\ldots\cdot\left(E_{r}\right)^{t}\); מתקיים:\[
D\left(P\right)=D\left(I_{n}\right)\cdot\prod_{i=1}^{r}\frac{D\left(\left(E_{i}\right)^{t}\right)}{D\left(I_{n}\right)}=D\left(I_{n}\right)\cdot\prod_{i=1}^{r}\frac{D\left(E_{i}\right)}{D\left(I_{n}\right)}=D\left(P^{t}\right)
\]
מסקנה 1.26. לכל מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים \(D\left(A^{t}\right)=D\left(A\right)\)10כמובן שטענה זו נכונה גם עבור פונקציית האפס..
מסקנה 1.27. לכל פונקציית נפח \(D':M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) ולכל \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים:\[
D'\left(A\right)=\frac{D'\left(I_{n}\right)}{D\left(I_{n}\right)}\cdot D\left(A\right)
\]
מסקנה 1.28. מטריצה \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) היא הפיכה אם"ם \(D\left(P\right)\neq0\).
מסקנה 1.29. אם קיימת פונקציית נפח \(D':V^{n}\rightarrow\MKfield\) שאינה פונקציית האפס אז לכל מטריצה הפיכה \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) קיימת פונקציית נפח יחידה \(D_{P}:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) כך ש-\(D_{P}\left(P\right)=1\).
\(\:\)
2 הדטרמיננטה
2.1 הגדרות
יהי \(\MKfield\) שדה.
הגדרה 2.1. תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה נסמן ב-\(A_{ij}\) את תת-המטריצה של \(A\) הנוצרת ע"י מחיקת השורה ה-\(i\) והעמודה ה-\(j\) (עבור \(n\geq i,j\in\MKnatural\)), תת-מטריצה כזו תיקרא מינור של \(A\).
- \(\clubsuit\)
- שימו לב: ע"פ הסימונים שלנו \(\left[A\right]_{ij}\) ו-\(a_{ij}\) הם האיבר שבקואורדינטה ה-\(ij\) של \(A\) ואילו \(A_{ij}\) הוא המינור הנוצר ממחיקת השורה ה-\(i\) והעמודה ה-\(j\).
- \(\clubsuit\)
- בקובץ הטענות אנחנו נראה שבכל מרחב קואורדינטות קיימת פונקציית נפח מנורמלת יחידה, ובפרט בכל מרחב קואורדינטות קיימת פונקציית נפח שאינה פונקציית האפס.
- \(\clubsuit\)
- בקובץ הטענות אנחנו נראה שהדטרמיננטות של מטריצות דומות שוות, מכאן שלכל ה"ל \(f:V\rightarrow V\) מעל מ"ו נ"ס \(V\) ולכל שני בסיסים \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) של \(V\) מתקיים:\[ \det\left(\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\right)=\det\left(\left[f\right]_{\MKclc}^{\MKclc}\right) \]כלומר הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת אינה משתנה אם נחליף את הבסיס, זוהי תכונה שנובעת מההעתקה הליניארית עצמה.
הגדרה 2.2. פונקציית נפח \(D:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) תיקרא מנורמלת אם \(D\left(I_{n}\right)=1\).
הגדרה 2.3. פונקציית נפח מנורמלת נקראת דטרמיננטה והיא מסומנת ב-\(\det\) או ב-\(\left|\cdot\right|\) (כלומר \(\det A=\left|A\right|\)).
הגדרה 2.4. יהי \(V\) מ"ו נ"ס, תהא \(f:V\rightarrow V\) ה"ל ויהי \(\MKclb\) בסיס סדור של \(V\), הדטרמיננטה של \(f\) היא \(\det\left(\left[f\right]_{\MKclb}^{\MKclb}\right)\).
\(\:\)
יהי \(\MKfield\) שדה.
2.2 הנוסחה המפורשת
למה 2.5. הפונקציה \(D_{1}:M_{1}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) המוגדרת ע"י \(D_{1}\left(A\right):=\left[A\right]_{11}\) (לכל \(A\in M_{1}\left(\MKfield\right)\)) היא פונקציית נפח מנורמלת.
משפט 2.6. יהיו \(n\in\MKnatural\) ו-\(n+1\geq j\in\MKnatural\), ונניח שקיימת פונקציית נפח מנורמלת \(D_{n}:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) (תהא \(D_{n}\) כנ"ל).
תהא \(D_{n+1}:M_{n+1}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(A\in M_{n+1}\left(\MKfield\right)\)):\[ D_{n+1}\left(A\right):=\sum_{i=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot D_{n}\left(A_{ij}\right)\right) \]\(D_{n+1}\) היא פונקציית נפח מנורמלת.
תהא \(D_{n+1}:M_{n+1}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(A\in M_{n+1}\left(\MKfield\right)\)):\[ D_{n+1}\left(A\right):=\sum_{i=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot D_{n}\left(A_{ij}\right)\right) \]\(D_{n+1}\) היא פונקציית נפח מנורמלת.
- \(\clubsuit\)
- כדי להבין מהיכן "צצה" הנוסחה הזו יש לזכור שכל פונקציית נפח היא חיבורית בכל רכיב בנפרד (במטריצות זה אומר שהיא חיבורית בכל עמודה), א"כ ניתן "לפרק" את המטריצה ל-\(n\) מטריצות כבכל אחת מהן רכיב אחד בלבד של העמודה ה-\(j\), לדוגמה (כאן \(j=n+1=3\)):\[ D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} a & d & \boldsymbol{{\color{blue}g}}\\ b & e & \boldsymbol{{\color{blue}h}}\\ c & f & \boldsymbol{{\color{blue}i}} \end{array}\right]\right)=D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} a & d & \boldsymbol{{\color{blue}g}}\\ b & e & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ c & f & \boldsymbol{{\color{red}0}} \end{array}\right]\right)+D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} a & d & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ b & e & \boldsymbol{{\color{blue}h}}\\ c & f & \boldsymbol{{\color{red}0}} \end{array}\right]\right)+D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} a & d & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ b & e & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ c & f & \boldsymbol{{\color{blue}i}} \end{array}\right]\right) \]מהתכונה השנייה של פונקציות נפח נקבל:\[\begin{align*} D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{{\color{orange}a}} & \boldsymbol{{\color{orange}d}} & \boldsymbol{{\color{blue}g}}\\ b & e & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ c & f & \boldsymbol{{\color{red}0}} \end{array}\right]\right) & =D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{blue}g}}\\ b & e & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ c & f & \boldsymbol{{\color{red}0}} \end{array}\right]\right)\\ D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} a & d & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{orange}b}} & \boldsymbol{{\color{orange}e}} & \boldsymbol{{\color{blue}h}}\\ c & f & \boldsymbol{{\color{red}0}} \end{array}\right]\right) & =D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} a & d & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{blue}h}}\\ c & f & \boldsymbol{{\color{red}0}} \end{array}\right]\right)\\ D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} a & d & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ b & e & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{orange}c}} & \boldsymbol{{\color{orange}f}} & \boldsymbol{{\color{blue}i}} \end{array}\right]\right) & =D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} a & d & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ b & e & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{blue}i}} \end{array}\right]\right) \end{align*}\]הנפח של כל מנסרה הוא שטח הבסיס כפול הגובה ולכן נקבל (נזכור שאנו עוסקים כאן בנפח מכוון):\[\begin{align*} \left|D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{blue}g}}\\ \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}} & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} & \boldsymbol{{\color{red}0}} \end{array}\right]\right)\right| & =\left|\boldsymbol{{\color{blue}g}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} \end{array}\right]\right)\right|\\ \left|D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}} & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{blue}h}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} & \boldsymbol{{\color{red}0}} \end{array}\right]\right)\right| & =\left|\boldsymbol{{\color{blue}h}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} \end{array}\right]\right)\right|\\ \left|D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}} & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}} & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{blue}i}} \end{array}\right]\right)\right| & =\left|\boldsymbol{{\color{blue}i}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}}\\ \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}} \end{array}\right]\right)\right| \end{align*}\]א"כ השאלה היחידה היא מהו הסימן של כל איבר בסכום הנ"ל, נשים לב לכך שצריך להתקיים (ללא ערך מוחלט):\[\begin{align*} D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{blue}g}}\\ \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}} & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} & \boldsymbol{{\color{red}0}} \end{array}\right]\right) & =\boldsymbol{{\color{blue}g}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} \end{array}\right]\right)\\ D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{red}0}} & \boldsymbol{{\color{green}d}}\\ \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{blue}h}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{red}0}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} \end{array}\right]\right) & =\boldsymbol{{\color{blue}h}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} \end{array}\right]\right)\\ D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{{\color{red}0}} & \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}}\\ \boldsymbol{{\color{red}0}} & \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}}\\ \boldsymbol{{\color{blue}i}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} \end{array}\right]\right) & =\boldsymbol{{\color{blue}i}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}}\\ \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}} \end{array}\right]\right) \end{align*}\]ולכן הסימן תלוי בזוגיות של מספר ההחלפות שיש לבצע כדי "להחזיר כל וקטור למקומו"11זה לא משנה שיש דרכים רבות לעשות זאת - לנו מספיקה רק אחת מהן כדי לקבוע את הסימן; ניתן ללמוד מזה שהזוגיות של כל הדרכים הללו זהה, ואכן זוהי טענה שנלמד במבנים1כאשר נעסוק בתמורות (ראו כאן)., א"כ קיבלנו:\[\begin{align*} D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{{\color{red}0}} & \boldsymbol{{\color{red}0}} & \boldsymbol{{\color{blue}g}}\\ \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}} & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} & \boldsymbol{{\color{red}0}} \end{array}\right]\right) & =\boldsymbol{{\color{blue}g}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} \end{array}\right]\right)=\left(-1\right)^{1+3}\cdot\boldsymbol{{\color{blue}g}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} \end{array}\right]\right)\\ D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}} & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{red}0}} & \boldsymbol{{\color{red}0}} & \boldsymbol{{\color{blue}h}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} & \boldsymbol{{\color{red}0}} \end{array}\right]\right) & =-\boldsymbol{{\color{blue}h}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} \end{array}\right]\right)=\left(-1\right)^{2+3}\cdot\boldsymbol{{\color{blue}h}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}}\\ \boldsymbol{{\color{green}c}} & \boldsymbol{{\color{green}f}} \end{array}\right]\right)\\ D_{3}\left(\left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}} & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}} & \boldsymbol{{\color{red}0}}\\ \boldsymbol{{\color{red}0}} & \boldsymbol{{\color{red}0}} & \boldsymbol{{\color{blue}i}} \end{array}\right]\right) & =\boldsymbol{{\color{blue}i}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}}\\ \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}} \end{array}\right]\right)=\left(-1\right)^{3+3}\cdot\boldsymbol{{\color{blue}i}}\cdot D_{2}\left(\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{{\color{green}a}} & \boldsymbol{{\color{green}d}}\\ \boldsymbol{{\color{green}b}} & \boldsymbol{{\color{green}e}} \end{array}\right]\right) \end{align*}\]כמובן שאת כל התהליך הזה יכולנו לבצע עבור כל גודל של מטריצה ובכל עמודה.
- \(\clubsuit\)
- בפרט קיימת פונקציית נפח שאינה פונקציית האפס בכל מרחב קואורדינטות.
- \(\clubsuit\)
- את הנוסחה הראשונה ראינו לעיל (משפט 2.2) ולה קוראים "פיתוח דטרמיננטה לפי עמודה"12אנחנו בוחרים עמודה \(j\) וכל מחובר בסכום הוא איבר בעמודה כפול המינור המתאים כשהסימן מתחלף בכל שורה., לנוסחה השנייה קוראים "פיתוח דטרמיננטה לפי שורה" ולשתיהן יחד - "פיתוח דטרמיננטה לפי מינורים".
- \(\clubsuit\)
- בדרך כלל לא כדאי לחשב את הדטרמיננטה בצורה זו אלא לדרג את המטריצה ולחשב את מכפלת הסקלרים המתאימים כפי שנראה בסעיף הבא, לפעמים יש הרבה אפסים במטריצה ואז ע"י בחירה מושכלת של שורה/עמודה ניתן לפתח את הדטרמיננטה לפי מינורים בקלות רבה.
- \(\clubsuit\)
- לדוגמה המטריצה:\[ \left[\begin{array}{ccc|cc|c} \boldsymbol{{\color{red}5}} & \boldsymbol{{\color{red}8}} & \boldsymbol{{\color{red}2}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{purple}0}}\\ \boldsymbol{{\color{red}6}} & \boldsymbol{{\color{red}3}} & \boldsymbol{{\color{red}4}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{purple}0}}\\ \boldsymbol{{\color{red}7}} & \boldsymbol{{\color{red}9}} & \boldsymbol{{\color{red}1}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{orange}0}} & \boldsymbol{{\color{purple}0}}\\ \hline \boldsymbol{{\color{orange}5}} & \boldsymbol{{\color{orange}2}} & \boldsymbol{{\color{orange}4}} & \boldsymbol{{\color{blue}1}} & \boldsymbol{{\color{blue}4}} & \boldsymbol{{\color{gray}0}}\\ \boldsymbol{{\color{orange}2}} & \boldsymbol{{\color{orange}5}} & \boldsymbol{{\color{orange}8}} & \boldsymbol{{\color{blue}3}} & \boldsymbol{{\color{blue}9}} & \boldsymbol{{\color{gray}0}}\\ \hline \boldsymbol{{\color{purple}3}} & \boldsymbol{{\color{purple}7}} & \boldsymbol{{\color{purple}1}} & \boldsymbol{{\color{gray}3}} & \boldsymbol{{\color{gray}6}} & \boldsymbol{{\color{green}5}} \end{array}\right] \]היא מטריצה משולשית לפי בלוקים, אתם מוזמנים גם לעיין בערך מטריצת בלוקים בוויקיפדיה.
הוכחה. ראו את ההוכחה לטענה 2.4.
מסקנה 2.7. לכל \(n\in\MKnatural\) קיימת פונקציית נפח מנורמלת יחידה עבור מרחב הקואורדינטות \(\MKfield^{n}\).
טענה 2.8. יהי \(1<n\in\MKnatural\) ותהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\).
- לכל \(n\geq j\in\MKnatural\) מתקיים:\[ \det A=\sum_{i=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot\left|A_{ij}\right|\right) \]
- לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) מתקיים:\[ \det A=\sum_{j=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot\left|A_{ij}\right|\right) \]
הוכחה. נוכיח את הטענה באינדוקציה על \(n\), את בסיס האינדוקציה ראינו בלמה 2.1 ולכן נעבור ישירות לצעד האינדוקציה.
נניח שקיימת פונקציית נפח מנורמלת \(\left|\cdot\right|:M_{n-1}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) ויהי \(n\geq i\in\MKnatural\). תהא \(D_{n}:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\)):\[ D_{n}\left(A\right):=\sum_{j=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot\left|A_{ij}\right|\right) \]
נניח שקיימת פונקציית נפח מנורמלת \(\left|\cdot\right|:M_{n-1}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) ויהי \(n\geq i\in\MKnatural\). תהא \(D_{n}:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\)):\[ D_{n}\left(A\right):=\sum_{j=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot\left|A_{ij}\right|\right) \]
- נוכיח ש-\(D_{n}\) מולטי-ליניארית:
- תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\), יהיו \(n\geq k\in\MKnatural\) ו-\(c\in\MKfield\), ונסמן ב-\(B\) את המטריצה המתקבלת מ-\(A\) ע"י הכפלת העמודה ה-\(k\) ב-\(c\).
מהגדרה לכל \(n\geq j\in\MKnatural\) כך ש-\(j\neq k\) מתקיים \(\left|B_{ij}\right|=c\cdot\left|A_{ij}\right|\) ו-\(\left[B\right]_{ij}=\left[A\right]_{ij}\), וכמו כן מתקיים גם \(\left|B_{ik}\right|=\left|A_{ik}\right|\) ו-\(\left[B\right]_{ik}=c\cdot\left[A\right]_{ik}\).
מכאן שלכל \(n\geq j\in\MKnatural\) מתקיים \(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[B\right]_{ij}\cdot\left|B_{ij}\right|=c\cdot\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot\left|A_{ij}\right|\) וממילא:\[ D_{n}\left(B\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[B\right]_{ij}\cdot\left|B_{ij}\right|\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(c\cdot\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot\left|A_{ij}\right|\right)=c\cdot\sum_{j=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot\left|A_{ij}\right|\right) \] - יהי \(x\in\MKfield^{n}\) ונסמן ב-\(C\) את המטריצה המתקבלת ע"י הוספת \(x\) לעמודה ה-\(k\), כמו כן נסמן ב-\(\tilde{C}\) את המטריצה המתקבלת מ-\(A\) ע"י החלפת העמודה ה-\(k\) ב-\(x\).
מהגדרה לכל \(n\geq j\in\MKnatural\) כך ש-\(j\neq k\) מתקיים \(\left|C_{ij}\right|=\left|A_{ij}\right|+\left|\tilde{C}_{ij}\right|\) ו-\(\left[\tilde{C}\right]_{ij}=\left[C\right]_{ij}=\left[A\right]_{ij}\), וכמו כן מתקיים גם \(\left|\tilde{C}_{ik}\right|=\left|C_{ik}\right|=\left|A_{ik}\right|\) ו-\(\left[C\right]_{ik}=\left[A\right]_{ik}+\left[\tilde{C}\right]_{ik}\).
נניח בהג"כ ש-\(k=1\).\[\begin{align*} \Rightarrow & D_{n}\left(C\right)=\sum_{j=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[C\right]_{ij}\cdot\left|C_{ij}\right|\right)\\ & =\left(-1\right)^{i+k}\cdot\left[C\right]_{ik}\cdot\left|C_{ik}\right|+\sum_{j=k+1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[C\right]_{ij}\cdot\left|C_{ij}\right|\right)\\ & =\left(-1\right)^{i+k}\cdot\left(\left[A\right]_{ik}+\left[\tilde{C}\right]_{ik}\right)\cdot\left|C_{ik}\right|+\sum_{j=k+1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[C\right]_{ij}\cdot\left(\left|A_{ij}\right|+\left|\tilde{C}_{ij}\right|\right)\right)\\ & =\left(-1\right)^{i+k}\cdot\left[A\right]_{ik}\cdot\left|C_{ik}\right|+\left(-1\right)^{i+k}\cdot\left[\tilde{C}\right]_{ik}\cdot\left|C_{ik}\right|+\sum_{j=k+1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[C\right]_{ij}\cdot\left|A_{ij}\right|\right)+\sum_{j=k+1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[C\right]_{ij}\cdot\left|\tilde{C}_{ij}\right|\right)\\ & =\left(-1\right)^{i+k}\cdot\left[A\right]_{ik}\cdot\left|A_{ik}\right|+\left(-1\right)^{i+k}\cdot\left[\tilde{C}\right]_{ik}\cdot\left|\tilde{C}_{ik}\right|+\sum_{j=k+1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot\left|A_{ij}\right|\right)+\sum_{j=k+1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[\tilde{C}\right]_{ij}\cdot\left|\tilde{C}_{ij}\right|\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot\left|A_{ij}\right|\right)+\sum_{j=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[\tilde{C}\right]_{ij}\cdot\left|\tilde{C}_{ij}\right|\right)=D_{n}\left(A\right)+D_{n}\left(\tilde{C}\right) \end{align*}\]
- תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\), יהיו \(n\geq k\in\MKnatural\) ו-\(c\in\MKfield\), ונסמן ב-\(B\) את המטריצה המתקבלת מ-\(A\) ע"י הכפלת העמודה ה-\(k\) ב-\(c\).
- נוכיח ש-\(D_{n}\) מתחלפת: יהי \(n\geq k'\in\MKnatural\) כך ש-\(k\neq k'\) ונניח שהעמודות ה-\(k\) וה-\(k'\) ב-\(A\) שוות.
מהגדרה לכל \(n\geq j\in\MKnatural\) כך ש-\(j\neq k\) ו-\(j\neq k'\) מתקיים \(\left|A_{ij}\right|=0\), כמו כן מתקיים \(\left[A\right]_{ik}=\left[A\right]_{ik'}\) ומכיוון ש-\(\left|\cdot\right|\) (הדטרמיננטה עבור \(M_{n-1}\left(\MKfield\right)\)) מתחלפת מתקיים גם \(\left|A_{ik'}\right|=\left(-1\right)^{k-k'+1}\cdot\left|A_{ik}\right|\)13אם \(k-k'=\pm1\) אז \(A_{ik}=A_{ik'}\), לכן אם \(k-k'\) אי-זוגי אז \(\left|A_{ik'}\right|=\left|A_{ik}\right|\) ואם \(k-k'\) זוגי אז \(\left|A_{ik'}\right|=-\left|A_{ik}\right|\)..\[\begin{align*} \Rightarrow D_{n}\left(A\right) & =\sum_{j=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{ij}\cdot\left|A_{ij}\right|\right)=\left(-1\right)^{i+k}\cdot\left[A\right]_{ik}\cdot\left|A_{ik}\right|+\left(-1\right)^{i+k'}\cdot\left[A\right]_{ik'}\cdot\left|A_{ik'}\right|\\ & =\left(-1\right)^{i+k}\cdot\left[A\right]_{ik}\cdot\left|A_{ik}\right|+\left(-1\right)^{i+k'}\cdot\left[A\right]_{ik}\cdot\left(-1\right)^{k-k'+1}\cdot\left|A_{ik}\right|\\ & =\left(-1\right)^{i+k}\cdot\left[A\right]_{ik}\cdot\left|A_{ik}\right|+\left(-1\right)^{i+k+1}\cdot\left[A\right]_{ik}\cdot\left|A_{ik}\right|=0 \end{align*}\]
הוכחה. במשפט 1.13 ראינו שכל פונקציה מולטי-ליניארית ומתחלפת היא פונקציית נפח, א"כ \(D_{n}\) היא פונקציית נפח.
נוכיח ש-\(D_{n}\) מנורמלת: לכל \(n\geq j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\) המינור \(\left(I_{n}\right)_{ij}\) הוא מטריצה שבה השורה ה-\(j\) והעמודה \(i\) הן שורת/עמודת אפסים ולכן \(\left|\left(I_{n}\right)_{ij}\right|=0\), ובנוסף מתקיים \(\left(I_{n}\right)_{ii}=I_{n-1}\) ולכן \(\left|\left(I_{n}\right)_{ii}\right|=1\).\[ \Rightarrow D_{n}\left(I_{n}\right):=\sum_{j=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[I_{n}\right]_{ij}\cdot\left|\left(I_{n}\right)_{ij}\right|\right)=\left(-1\right)^{i+i}\cdot\left|\left(I_{n}\right)_{ii}\right|=1\cdot1=1 \]עד כאן הוכחנו את הנכונות של פיתוח הדטרמיננטה לפי שורה, הנכונות של הפיתוח לפי עמודה נובע מהעובדה ש-\(\det A=\det A^{t}\).
נוכיח ש-\(D_{n}\) מנורמלת: לכל \(n\geq j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\) המינור \(\left(I_{n}\right)_{ij}\) הוא מטריצה שבה השורה ה-\(j\) והעמודה \(i\) הן שורת/עמודת אפסים ולכן \(\left|\left(I_{n}\right)_{ij}\right|=0\), ובנוסף מתקיים \(\left(I_{n}\right)_{ii}=I_{n-1}\) ולכן \(\left|\left(I_{n}\right)_{ii}\right|=1\).\[ \Rightarrow D_{n}\left(I_{n}\right):=\sum_{j=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[I_{n}\right]_{ij}\cdot\left|\left(I_{n}\right)_{ij}\right|\right)=\left(-1\right)^{i+i}\cdot\left|\left(I_{n}\right)_{ii}\right|=1\cdot1=1 \]עד כאן הוכחנו את הנכונות של פיתוח הדטרמיננטה לפי שורה, הנכונות של הפיתוח לפי עמודה נובע מהעובדה ש-\(\det A=\det A^{t}\).
מסקנה 2.9. הדטרמיננטה של מטריצת סיבוב היא \(1\).
הוכחה. מהנוסחה המפורשת של הדטרמיננטה נובע שלכל \(a,b,c,d\in\MKfield\) מתקיים \(\begin{alignedat}{1}\det\left(\left[\begin{array}{cc}
a & c\\
b & d
\end{array}\right]\right)=a\cdot d-b\cdot c\end{alignedat}
\), ובפרט לכל \(\theta\in\MKreal\) מתקיים:\[
\left|R\left(\theta\right)\right|=\det\left(\left[\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right]\right)=\cos^{2}\theta-\sin\theta\cdot\left(-\sin\theta\right)=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1
\]
מסקנה 2.10. הדטרמיננטה של מטריצה משולשית היא מכפלת הסקלרים שעל האלכסון הראשי.
הוכחה. נוכיח את הטענה באינדוקציה, עבור מטריצות מגודל \(1\times1\) הטענה טריוויאלית ולכן נעבור ישירות לצעד האינדוקציה.
יהי \(1<n\in\MKnatural\) ונניח שהטענה נכונה ב-\(M_{n-1}\left(\MKfield\right)\).
תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה משולשית עליונה14מכיוון שהדטרמיננטה של המטריצה המשוחלפת זהה לזו של המקורית ההוכחה תהיה תקפה גם עבור מטריצות משולשיות תחתונות, שכן המשוחלפת של משולשית תחתונה היא משולשית עליונה ובכל מטריצה ריבועית הסקלרים שעל האלכסון הראשי שווים לאלו שעל האלכסון הראשי במשוחלפת שלה. ונפתח את הדטרמיננטה של \(A\) לפי העמודה הראשונה:\[ \det A=\sum_{i=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot{\color{red}\left[A\right]_{i1}}\cdot\left|A_{i1}\right|\right)=\left(-1\right)^{2}\cdot{\color{red}\left[A\right]_{11}}\cdot\left|A_{11}\right|+\sum_{i=2}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot{\color{red}0}\cdot\left|A_{i1}\right|\right)={\color{red}\left[A\right]_{11}}\cdot\left|A_{11}\right| \]מהנחת האינדוקציה נובע ש-\(\left|A_{11}\right|\) היא מכפלת הסקלרים שעל האלכסון הראשי במינור \(A_{11}\) ומכאן ש-\({\color{red}\left[A\right]_{11}}\cdot\left|A_{11}\right|\) היא מכפלת הסקלרים שעל האלכסון הראשי ב-\(A\).
יהי \(1<n\in\MKnatural\) ונניח שהטענה נכונה ב-\(M_{n-1}\left(\MKfield\right)\).
תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה משולשית עליונה14מכיוון שהדטרמיננטה של המטריצה המשוחלפת זהה לזו של המקורית ההוכחה תהיה תקפה גם עבור מטריצות משולשיות תחתונות, שכן המשוחלפת של משולשית תחתונה היא משולשית עליונה ובכל מטריצה ריבועית הסקלרים שעל האלכסון הראשי שווים לאלו שעל האלכסון הראשי במשוחלפת שלה. ונפתח את הדטרמיננטה של \(A\) לפי העמודה הראשונה:\[ \det A=\sum_{i=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot{\color{red}\left[A\right]_{i1}}\cdot\left|A_{i1}\right|\right)=\left(-1\right)^{2}\cdot{\color{red}\left[A\right]_{11}}\cdot\left|A_{11}\right|+\sum_{i=2}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot{\color{red}0}\cdot\left|A_{i1}\right|\right)={\color{red}\left[A\right]_{11}}\cdot\left|A_{11}\right| \]מהנחת האינדוקציה נובע ש-\(\left|A_{11}\right|\) היא מכפלת הסקלרים שעל האלכסון הראשי במינור \(A_{11}\) ומכאן ש-\({\color{red}\left[A\right]_{11}}\cdot\left|A_{11}\right|\) היא מכפלת הסקלרים שעל האלכסון הראשי ב-\(A\).
טענה 2.11. הדטרמיננטה של מטריצה משולשית לפי בלוקים (ובפרט של אלכסונית לפי בלוקים) היא מכפלת הדטרמיננטות של הבלוקים על האלכסון הראשי (לפי הבלוקים).
הוכחה. נוכיח את הטענה באינדוקציה על הגודל של המטריצות, עבור מטריצות מגודל \(1\times1\) הטענה טריוויאלית ולכן נעבור ישירות לצעד האינדוקציה.
יהי \(1<n\in\MKnatural\) ונניח שהטענה נכונה ב-\(M_{n-1}\left(\MKfield\right)\).
תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה משולשית עליונה לפי בלוקים15ההערה הקודמת (לגבי מטריצות משולשיות) נכונה באותה מידה גם עבור מטריצות משולשות תחתונות לפי בלוקים אך הפעם יש לדבר על הבלוקים שעל האלכסון הראשי (לפי הבלוקים) ולא על הסקלרים שעל האלכסון הראשי., מכיוון שהחלוקה לבלוקים היא שרירותית נוכל להניח ש-\(M\) מחולקת ל-\(4\) בלוקים בלבד16אם יש יותר מארבעה אז נאחד אותם כמה מהם כך שיהיו ארבעה בלוקים, כל בלוק על האלכסון הראשי (לפי בלוקים) יישאר מטריצה משולשית לפי בלוקים והנחת האינדוקציה תהיה תקפה לגביו., א"כ יהיו \(B,C,D\) תתי-מטריצות של \(A\) כך שמתקיים:\[ A=\left[\begin{array}{c|c} B & C\\ \hline 0_{m\times k} & D \end{array}\right],\ B\in M_{k}\left(\MKfield\right),\ C\in M_{k\times m}\left(\MKfield\right),\ D\in M_{m}\left(\MKfield\right) \]נפתח את הדטרמיננטה של \(A\) לפי העמודה הראשונה:\[ \det A=\sum_{i=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{i1}\cdot\left|A_{i1}\right|\right)=\sum_{i=1}^{k}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot{\color{red}\left[B\right]_{i1}}\cdot\left|A_{i1}\right|\right)+\sum_{i=k+1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot{\color{red}0}\cdot\left|A_{i1}\right|\right)=\sum_{i=1}^{k}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[B\right]_{i1}\cdot\left|A_{i1}\right|\right) \]לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) מתקיים:\[ A_{i1}=\left[\begin{array}{c|c} B_{i1} & C_{i}\\ \hline 0_{m\times k-1} & D \end{array}\right] \]כאשר \(B_{i1}\) היא המינור המתאים ב-\(B\) ו-\(C_{i}\) היא תת-המטריצה \(C\) לאחר שהוסרה ממנה השורה ה-\(i\), מכאן שע"פ הנחת האינדוקציה מתקיים \(\left|A_{i1}\right|=\left|B_{i1}\right|\cdot\left|D\right|\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).\[ \Rightarrow\det A=\sum_{i=1}^{k}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[B\right]_{i1}\cdot\left|B_{i1}\right|\cdot\left|D\right|\right)=\left(\sum_{i=1}^{k}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[B\right]_{i1}\cdot\left|B_{i1}\right|\right)\right)\cdot\left|D\right|=\left|B\right|\cdot\left|D\right| \]
יהי \(1<n\in\MKnatural\) ונניח שהטענה נכונה ב-\(M_{n-1}\left(\MKfield\right)\).
תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה משולשית עליונה לפי בלוקים15ההערה הקודמת (לגבי מטריצות משולשיות) נכונה באותה מידה גם עבור מטריצות משולשות תחתונות לפי בלוקים אך הפעם יש לדבר על הבלוקים שעל האלכסון הראשי (לפי הבלוקים) ולא על הסקלרים שעל האלכסון הראשי., מכיוון שהחלוקה לבלוקים היא שרירותית נוכל להניח ש-\(M\) מחולקת ל-\(4\) בלוקים בלבד16אם יש יותר מארבעה אז נאחד אותם כמה מהם כך שיהיו ארבעה בלוקים, כל בלוק על האלכסון הראשי (לפי בלוקים) יישאר מטריצה משולשית לפי בלוקים והנחת האינדוקציה תהיה תקפה לגביו., א"כ יהיו \(B,C,D\) תתי-מטריצות של \(A\) כך שמתקיים:\[ A=\left[\begin{array}{c|c} B & C\\ \hline 0_{m\times k} & D \end{array}\right],\ B\in M_{k}\left(\MKfield\right),\ C\in M_{k\times m}\left(\MKfield\right),\ D\in M_{m}\left(\MKfield\right) \]נפתח את הדטרמיננטה של \(A\) לפי העמודה הראשונה:\[ \det A=\sum_{i=1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[A\right]_{i1}\cdot\left|A_{i1}\right|\right)=\sum_{i=1}^{k}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot{\color{red}\left[B\right]_{i1}}\cdot\left|A_{i1}\right|\right)+\sum_{i=k+1}^{n}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot{\color{red}0}\cdot\left|A_{i1}\right|\right)=\sum_{i=1}^{k}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[B\right]_{i1}\cdot\left|A_{i1}\right|\right) \]לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) מתקיים:\[ A_{i1}=\left[\begin{array}{c|c} B_{i1} & C_{i}\\ \hline 0_{m\times k-1} & D \end{array}\right] \]כאשר \(B_{i1}\) היא המינור המתאים ב-\(B\) ו-\(C_{i}\) היא תת-המטריצה \(C\) לאחר שהוסרה ממנה השורה ה-\(i\), מכאן שע"פ הנחת האינדוקציה מתקיים \(\left|A_{i1}\right|=\left|B_{i1}\right|\cdot\left|D\right|\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).\[ \Rightarrow\det A=\sum_{i=1}^{k}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[B\right]_{i1}\cdot\left|B_{i1}\right|\cdot\left|D\right|\right)=\left(\sum_{i=1}^{k}\left(\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left[B\right]_{i1}\cdot\left|B_{i1}\right|\right)\right)\cdot\left|D\right|=\left|B\right|\cdot\left|D\right| \]
2.3 חישוב ע"י פעולות שורה/עמודה אלמנטריות
- \(\clubsuit\)
- שתי הלמות הבאות נובעות ישירות ממסקנה 1.16.
- \(\clubsuit\)
- מכאן שאותה פונקציית נפח יחידה \(D_{\MKclb}:V^{n}\rightarrow\MKfield\) המקיימת \(D_{\MKclb}\left(\MKclb\right)=1\) היא הפונקציה המוגדרת ע"י \(D_{\MKclb}\left(\MKclc\right):=\det\left(\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\right)\) לכל בסיס \(\MKclc\) (ו-\(0\) לכל סדרה שאינה בסיס).
למה 2.12. תהא \(\varepsilon:M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow M_{n}\left(\MKfield\right)\) פעולת שורה אלמנטרית ותהא \(E\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) המטריצה האלמנטרית המתאימה לה, מתקיים:\[
\left|E\right|=\left|E^{t}\right|=\mu\left(\varepsilon^{*}\right)
\]
למה 2.13. תהיינה \(A,E\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) כך ש-\(E\) היא מטריצה אלמנטרית, מתקיים:\[
\left|A\cdot E^{t}\right|=\left|A\right|\cdot\left|E^{t}\right|=\left|A\right|\cdot\left|E\right|
\]
מסקנה 2.14. יהי \(V\) מ"ו נ"ס מעל \(\MKfield\) תהא \(D:V^{n}\rightarrow\MKfield\) פונקציית נפח ויהיו \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) בסיסים סדורים של \(V\), מתקיים:\[
D\left(\MKclc\right)=D\left(\MKclb\right)\cdot\det\left(\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\right)
\]
הוכחה. משתי הלמות האחרונות (2.8 ו-2.9) נובע (באינדוקציה) שהדטרמיננטה של \(\left[\MKid_{V}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\) היא בדיוק מכפלת הסקלרים שמופיעה במסקנה 1.8.
מסקנה 2.15. לכל מ"ו נ"ס קיימת פונקציית נפח שאינה פונקציית האפס.
מסקנה 2.16. תהיינה \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) שתי מטריצות, מתקיים \(\left|A\cdot B\right|=\left|A\right|\cdot\left|B\right|\).
הוכחה. אם \(A\) ו-\(B\) הפיכות אז הטענה נובעת ישירות ממסקנה 1.19 ומשתי הלמות האחרונות (2.8 ו-2.9), אחרת המכפלה שלהן אינה הפיכה ולכן \(\left|A\cdot B\right|=0\) וכמו כן אחד הגורמים במכפלה \(\left|A\right|\cdot\left|B\right|\) הוא \(0\) ולכן גם \(\left|A\right|\cdot\left|B\right|=0\).
מסקנה 2.17. תהא \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה הפיכה, מתקיים \(\begin{alignedat}{1}\left|P^{-1}\right|=\left|P\right|^{-1}\end{alignedat}
\).
הוכחה. מהמסקנה הקודמת (2.12) נובע כי:\[
1=\left|I_{n}\right|=\left|P^{-1}\cdot P\right|=\left|P^{-1}\right|\cdot\left|P\right|
\]
מסקנה 2.18. לכל שתי מטריצות דומות \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים \(\left|A\right|=\left|B\right|\).
הוכחה. תהא \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה הפיכה כך ש-\(A=P^{-1}\cdot B\cdot P\), משתי המסקנות הקודמות נובע כי:\[
\left|A\right|=\left|P^{-1}\cdot B\cdot P\right|=\left|P^{-1}\right|\cdot\left|B\right|\cdot\left|P\right|=\left|P\right|^{-1}\cdot\left|B\right|\cdot\left|P\right|=\left|B\right|
\]
3 המטריצה המצורפת וחיות אחרות
3.1 הגדרות
יהי \(\MKfield\) שדה.
למה. תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה, יהי \(b\in\MKfield^{n}\) ונסמן ב-\(A^{\left(i\right)}\) את המטריצה המתקבלת מ-\(A\) ע"י החלפת העמודה ה-\(i\) ב-\(b\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
אם קיים \(x\in\MKfield^{n}\) כך ש-\(A\cdot x=b\) אז עבור אותו \(x\) מתקיים (לכל \(n\geq k\in\MKnatural\)):\[ \det A^{\left(k\right)}=\left(\det A\right)\cdot x_{k} \]
אם קיים \(x\in\MKfield^{n}\) כך ש-\(A\cdot x=b\) אז עבור אותו \(x\) מתקיים (לכל \(n\geq k\in\MKnatural\)):\[ \det A^{\left(k\right)}=\left(\det A\right)\cdot x_{k} \]
- \(\clubsuit\)
- כדי שנוכל להסביר את האינטואיציה הגאומטרית מאחורי הלמה נשים לב לשלוש נקודות:
- \(\det A\) הוא הפקטור שבו \(A\) מותחת/מכווצת כל צורה בעלת נפח \(n\)-ממדי.
- \(A^{\left(k\right)}\) היא סדרת התמונות של איברי הבסיס הסטנדרטי מלבד העמודה ה-\(k\) שמוחלפת ב-\(b\) שהוא תמונה של \(x\).
- הנפח של המקבילון הנוצר ע"י וקטורי הבסיס הסטנדרטי כאשר \(e_{k}\) מוחלף ב-\(x\) הוא בדיוק \(x_{k}\).
לפיכך \(\det A^{\left(k\right)}\) הוא הנפח של המקבילון הנ"ל כשהוא מוכפל בפקטור המתיחה/הכיווץ שהוא \(\det A\). - \(\clubsuit\)
- את האינטואיציה הזו למדתי מסרטון של3blue1brown
- \(\clubsuit\)
- כלל קרמר אינו יעיל במיוחד לחישובים (אפילו לא כדי להשיג קואורדינטה בודדת של הפתרון) וזאת משום שהחישוב הישיר של הדטרמיננטה ארוך ומייגע, ואם אנחנו כבר מדרגים את המטריצה כדי לחשב את הדטרמיננטה נוכל למצוא בקלות את כל הפתרון כפי שעשינו בעבר. כוחו של כלל קרמר הוא ביכולת שלו להראות את קיום הפתרון ע"פ הדטרמיננטה.
- \(\clubsuit\)
- תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\), הלמה שלעיל (לפני כלל קרמר) מעלה בנו את הרעיון להגדיר את הפונקציה הבאה - תהא \(f_{A}:\MKfield^{n}\rightarrow\MKfield^{n}\) פונקציה המוגדרת ע"י (לעכל \(b\in\MKfield^{n}\)):\[
f_{A}\left(b\right)=\begin{bmatrix}\det A_{b}^{\left(1\right)}\\
\det A_{b}^{\left(2\right)}\\
\vdots\\
\det A_{b}^{\left(n\right)}
\end{bmatrix}
\]כאשר \(A_{b}^{\left(i\right)}\) היא המטריצה המתקבלת מ-\(A\) ע"י החלפת העמודה ה-\(i\) ב-\(b\) (לכל \(b\in\MKfield^{n}\) ולכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
ע"פ הלמה \(f_{A}\) מעתיקה כל וקטור אל אחד המקורות שלו (אם קיים כזה) ביחס לפונקציה \(T_{A}\) עד כדי כפל בקבוע \(\det A\), ולכן במובן מסוים היא הופכית של \(T_{A}\) גם אם \(T_{A}\) אינה הפיכה.
מתכונות הדטרמיננטה נובע ש-\(f\) הנ"ל היא העתקה ליניארית ולכן קיימת מטריצה יחידה \(B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) כך ש-\(f_{A}=T_{B}\), אבל איזו מטריצה זו? - \(\clubsuit\)
- נשים לב שלכל \(n\geq i\in\MKnatural\) מתקיים \(A_{\boldsymbol{{\color{blue}j}{\color{red}i}}}=\left(A_{b}^{\left(i\right)}\right)_{\boldsymbol{{\color{blue}j}{\color{red}i}}}\), ולכן אם נפתח את הדטרמיננטה של \(A_{b}^{\left(i\right)}\) לפי העמודה ה-\(i\) נקבל שלכל \(b\in\MKfield^{n}\) הקואורדינטה ה-\(i\) של \(\left(\MKadj A\right)\cdot b\) היא:\[ \sum_{j=1}^{n}\left[\MKadj A\right]_{\boldsymbol{{\color{red}i}{\color{blue}j}}}\cdot b_{j}=\sum_{j=1}^{n}\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left|A_{\boldsymbol{{\color{blue}j}{\color{red}i}}}\right|\cdot b_{j}=\sum_{j=1}^{n}\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left|\left(A_{b}^{\left(i\right)}\right)_{\boldsymbol{{\color{blue}j}{\color{red}i}}}\right|\cdot\left[A_{b}^{\left(i\right)}\right]_{\boldsymbol{{\color{blue}j}{\color{red}i}}}=\det A_{b}^{\left(i\right)} \]כלומר \(\MKadj A\) היא המטריצה שחיפשנו.
- \(\clubsuit\)
- לעיל ראינו ש-\(f_{A}\) מחזירה כל וקטור למקורו (אם יש לו כזה) ביחס ל-\(T_{A}\) כשהוא מוכפל בקבוע \(\det A\), מכאן שמתקיים \(\left(\MKadj A\right)\cdot A=\left(\det A\right)\cdot I_{n}\) ולכן אם \(A\) הפיכה אז \(A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot\MKadj A\).
בדרך כלל מוכיחים את כלל קרמר באמצעות המטריצה המצורפת (זו ממש אלגברה פשוטה אחרי הנוסחה המפורשת של הדטרמיננטה), אני בחרתי להציג אותם בסדר הפוך מפני שהאינטואיציה לכלל קרמר אינה קשורה למטריצה המצורפת (שללא ההסבר לעיל נראית כהגדרה אלגברית מוזרה ביותר) ויתרה מזאת - כלל קרמר הוא הסיבה לכך שהמטריצה המצורפת מוגדרת דווקא כך. - \(\clubsuit\)
- מהעובדה שהדטרמיננטה של מטריצה ושל המשוחלפת שלה שוות נקבל שמתקיים (לכל \(n\geq i,j\)):\[ \left[\MKadj A\right]_{\boldsymbol{{\color{red}i}{\color{blue}j}}}=\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left|A_{\boldsymbol{{\color{blue}j}{\color{red}i}}}\right|=\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left|\left(A^{\boldsymbol{{\color{green}t}}}\right)_{\boldsymbol{{\color{red}i}{\color{blue}j}}}\right| \]בדרך זו קל יותר לחשב כל קואורדינטה במטריצה המצורפת.
- \(\clubsuit\)
- כדי לזכור את הסימן הנוצר ע"י הביטוי "\(\left(-1\right)^{i+j}\)" ניתן להיעזר בלוח השחמט - במשבצות הלבנות מתקיים \(\left(-1\right)^{i+j}=1\) ובמשבצות השחורות נקבל \(\left(-1\right)^{i+j}=-1\).
- תזכורת:
- בשחמט נהוג לשחק כאשר המשבצת הימנית התחתונה לבנה וממילא גם השמאלית העליונה כזו.
מסקנה. כלל קרמר17ערך בוויקיפדיה: גבריאל קרמר.
תהא \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה הפיכה, יהי \(b\in\MKfield^{n}\) ונסמן ב-\(P^{\left(i\right)}\) את המטריצה המתקבלת מ-\(P\) ע"י החלפת העמודה ה-\(i\) ב-\(b\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
הפתרון היחיד לממ"ל \(P\cdot x=b\) הוא:\[ x:=\frac{1}{\det P}\cdot\begin{bmatrix}\det P^{\left(1\right)}\\ \det P^{\left(2\right)}\\ \vdots\\ \det P^{\left(n\right)} \end{bmatrix} \]כלומר הקואורדינטה ה-\(i\) של הפתרון היא \(\frac{1}{\det P}\cdot\det P^{\left(i\right)}\).
תהא \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה הפיכה, יהי \(b\in\MKfield^{n}\) ונסמן ב-\(P^{\left(i\right)}\) את המטריצה המתקבלת מ-\(P\) ע"י החלפת העמודה ה-\(i\) ב-\(b\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
הפתרון היחיד לממ"ל \(P\cdot x=b\) הוא:\[ x:=\frac{1}{\det P}\cdot\begin{bmatrix}\det P^{\left(1\right)}\\ \det P^{\left(2\right)}\\ \vdots\\ \det P^{\left(n\right)} \end{bmatrix} \]כלומר הקואורדינטה ה-\(i\) של הפתרון היא \(\frac{1}{\det P}\cdot\det P^{\left(i\right)}\).
הגדרה 3.1. תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה (\(n>1\)), המטריצה המצורפת של \(A\) (נקראת גם הצמודה הקלאסית) היא המטריצה \(\MKadj A\) המוגדרת ע"י (לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\)):\[
\left[\MKadj A\right]_{\boldsymbol{{\color{red}i}{\color{blue}j}}}:=\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left|A_{\boldsymbol{{\color{blue}j}{\color{red}i}}}\right|
\]
הגדרה 3.2. מטריצת ונדרמונד18ערך בוויקיפדיה אלכסנדר ונדרמונד.
מטריצת ונדרמונד היא מטריצה שבה כל שורה היא סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא \(1\), כלומר עבור \(M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) זוהי מטריצה מהצורה הבאה:\[ \begin{bmatrix}1 & x_{1} & \left(x_{1}\right)^{2} & \dots & \left(x_{1}\right)^{n-1}\\ 1 & x_{2} & \left(x_{2}\right)^{2} & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-1}\\ 1 & x_{3} & \left(x_{3}\right)^{2} & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{m} & \left(x_{m}\right)^{2} & \dots & \left(x_{m}\right)^{n-1} \end{bmatrix} \]כאשר \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\in\MKfield\).
מטריצת ונדרמונד היא מטריצה שבה כל שורה היא סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא \(1\), כלומר עבור \(M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) זוהי מטריצה מהצורה הבאה:\[ \begin{bmatrix}1 & x_{1} & \left(x_{1}\right)^{2} & \dots & \left(x_{1}\right)^{n-1}\\ 1 & x_{2} & \left(x_{2}\right)^{2} & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-1}\\ 1 & x_{3} & \left(x_{3}\right)^{2} & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{m} & \left(x_{m}\right)^{2} & \dots & \left(x_{m}\right)^{n-1} \end{bmatrix} \]כאשר \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\in\MKfield\).
יהיו \(\MKfield\) שדה ו-\(n\in\MKnatural\).
3.2 כלל קרמר
למה 3.3. תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה, יהי \(b\in\MKfield^{n}\) ונסמן ב-\(A^{\left(i\right)}\) את המטריצה המתקבלת מ-\(A\) ע"י החלפת העמודה ה-\(i\) ב-\(b\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
אם קיים \(x\in\MKfield^{n}\) כך ש-\(A\cdot x=b\) אז עבור אותו \(x\) מתקיים (לכל \(n\geq k\in\MKnatural\)):\[ \det A^{\left(k\right)}=\left(\det A\right)\cdot x_{k} \]
אם קיים \(x\in\MKfield^{n}\) כך ש-\(A\cdot x=b\) אז עבור אותו \(x\) מתקיים (לכל \(n\geq k\in\MKnatural\)):\[ \det A^{\left(k\right)}=\left(\det A\right)\cdot x_{k} \]
- \(\clubsuit\)
- כדי שנוכל להסביר את האינטואיציה הגאומטרית מאחורי הלמה נשים לב לשלוש נקודות:
- \(\det A\) הוא הפקטור שבו \(A\) מותחת/מכווצת כל צורה בעלת נפח \(n\)-ממדי.
- \(A^{\left(k\right)}\) היא סדרת התמונות של איברי הבסיס הסטנדרטי מלבד העמודה ה-\(k\) שמוחלפת ב-\(b\) שהוא תמונה של \(x\).
- הנפח של המקבילון הנוצר ע"י וקטורי הבסיס הסטנדרטי כאשר \(e_{k}\) מוחלף ב-\(x\) הוא בדיוק \(x_{k}\).
לפיכך \(\det A^{\left(k\right)}\) הוא הנפח של המקבילון הנ"ל כשהוא מוכפל בפקטור המתיחה/הכיווץ שהוא \(\det A\). - \(\clubsuit\)
- את האינטואיציה הזו למדתי מסרטון של3blue1brown
- \(\clubsuit\)
- כלל קרמר אינו יעיל במיוחד לחישובים (אפילו לא כדי להשיג קואורדינטה בודדת של הפתרון) וזאת משום שהחישוב הישיר של הדטרמיננטה ארוך ומייגע, ואם אנחנו כבר מדרגים את המטריצה כדי לחשב את הדטרמיננטה נוכל למצוא בקלות את כל הפתרון כפי שעשינו בעבר. כוחו של כלל קרמר הוא ביכולת שלו להראות את קיום הפתרון ע"פ הדטרמיננטה.
הוכחה. נניח שקיים \(x\in\MKfield^{n}\) כך ש-\(A\cdot x=b\) ויהי \(x\) כנ"ל.
נסמן ב-\(c_{i}\) את העמודה ה-\(i\) של \(A\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)), א"כ מתקיים (לכל \(n\geq k\in\MKnatural\)):\[ A^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{k-1} & b & c_{k+1} & \cdots & c_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]=A\cdot\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right] \]ומתכונות הדטרמיננטה נובע כי (לכל \(n\geq k\in\MKnatural\)):\[\begin{align*} \det A^{\left(k\right)} & =\det\left(A\cdot\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)\\ & =\left(\det A\right)\cdot\det\left(\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)\\ & =\left(\det A\right)\cdot\det\left(\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{k-1} & \sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot e_{i} & e_{k+1} & \cdots & e_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)\\ & =\left(\det A\right)\cdot\det\left(\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{k-1} & x_{k}\cdot e_{k} & e_{k+1} & \cdots & e_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)\\ & =\left(\det A\right)\cdot x_{k}\cdot\det I_{n}=\left(\det A\right)\cdot x_{k} \end{align*}\]
נסמן ב-\(c_{i}\) את העמודה ה-\(i\) של \(A\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)), א"כ מתקיים (לכל \(n\geq k\in\MKnatural\)):\[ A^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{k-1} & b & c_{k+1} & \cdots & c_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]=A\cdot\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right] \]ומתכונות הדטרמיננטה נובע כי (לכל \(n\geq k\in\MKnatural\)):\[\begin{align*} \det A^{\left(k\right)} & =\det\left(A\cdot\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)\\ & =\left(\det A\right)\cdot\det\left(\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{k-1} & x & e_{k+1} & \cdots & e_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)\\ & =\left(\det A\right)\cdot\det\left(\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{k-1} & \sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot e_{i} & e_{k+1} & \cdots & e_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)\\ & =\left(\det A\right)\cdot\det\left(\left[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid\\ e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{k-1} & x_{k}\cdot e_{k} & e_{k+1} & \cdots & e_{n}\\ \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid & \mid \end{array}\right]\right)\\ & =\left(\det A\right)\cdot x_{k}\cdot\det I_{n}=\left(\det A\right)\cdot x_{k} \end{align*}\]
מסקנה 3.4. כלל קרמר19ערך בוויקיפדיה: גבריאל קרמר.
תהא \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה הפיכה, יהי \(b\in\MKfield^{n}\) ונסמן ב-\(P^{\left(i\right)}\) את המטריצה המתקבלת מ-\(P\) ע"י החלפת העמודה ה-\(i\) ב-\(b\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
הפתרון היחיד לממ"ל \(P\cdot x=b\) הוא:\[ x:=\frac{1}{\det P}\cdot\begin{bmatrix}\det P^{\left(1\right)}\\ \det P^{\left(2\right)}\\ \vdots\\ \det P^{\left(n\right)} \end{bmatrix} \]כלומר הקואורדינטה ה-\(i\) של הפתרון היא \(\frac{1}{\det P}\cdot\det P^{\left(i\right)}\).
תהא \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה הפיכה, יהי \(b\in\MKfield^{n}\) ונסמן ב-\(P^{\left(i\right)}\) את המטריצה המתקבלת מ-\(P\) ע"י החלפת העמודה ה-\(i\) ב-\(b\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
הפתרון היחיד לממ"ל \(P\cdot x=b\) הוא:\[ x:=\frac{1}{\det P}\cdot\begin{bmatrix}\det P^{\left(1\right)}\\ \det P^{\left(2\right)}\\ \vdots\\ \det P^{\left(n\right)} \end{bmatrix} \]כלומר הקואורדינטה ה-\(i\) של הפתרון היא \(\frac{1}{\det P}\cdot\det P^{\left(i\right)}\).
3.3 המטריצה המצורפת
- תזכורת:
- המטריצה המצורפת מוגדרת רק עבור \(n>1\) ולכן כל הטענות בסעיף זה מניחות ש-\(n>1\).
- \(\clubsuit\)
- ראינו את ההסבר לטענה זו בקובץ ההגדרות.
- \(\clubsuit\)
- מסקנה זו מאפשרת לנו לחשב קואורדינטה בודדת במטריצה ההופכית באמצעות המטריצה המצורפת, למרות זאת מסקנה זו אינה מועילה במיוחד לחישובים מפני שהרבה יותר פשוט לדרג את המטריצה מאשר לחשב את הדטרמיננטה של המינור המתאים (פעמים רבות גם חישוב הדטרמיננטה דורש את הדירוג).
- \(\clubsuit\)
- למעשה מסקנה זו נכונה גם עבור מטריצות שאינן הפיכות אך טרם למדנו את הכלים הנדרשים בשביל להוכיח זאת.
טענה 3.5. תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) ויהי \(b\in\MKfield^{n}\), מתקיים:\[
\left(\MKadj A\right)\cdot b=\begin{bmatrix}\det A^{\left(1\right)}\\
\det A^{\left(2\right)}\\
\vdots\\
\det A^{\left(n\right)}
\end{bmatrix}
\]כאשר \(A^{\left(i\right)}\) היא המטריצה המתקבלת מ-\(A\) ע"י החלפת העמודה ה-\(i\) ב-\(b\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
למה 3.6. תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה, יהי \(b\in\MKfield^{n}\) ונסמן ב-\(A_{\left(j\right)}\) את המטריצה המתקבלת מ-\(A\) ע"י החלפת השורה ה-\(j\) ב-\(b\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
אם קיים \(x\in\MKfield^{n}\) כך ש-\(x^{t}\cdot A=b^{t}\)20אנו משתמשים כאן באיזומורפיזם שבין \(\MKfield^{n}\) ל-\(M_{n\times1}\left(\MKfield\right)\). אז עבור אותו \(x\) מתקיים (לכל \(n\geq j\in\MKnatural\)):\[ \det A_{\left(j\right)}=\left(\det A\right)\cdot x_{j} \]
אם קיים \(x\in\MKfield^{n}\) כך ש-\(x^{t}\cdot A=b^{t}\)20אנו משתמשים כאן באיזומורפיזם שבין \(\MKfield^{n}\) ל-\(M_{n\times1}\left(\MKfield\right)\). אז עבור אותו \(x\) מתקיים (לכל \(n\geq j\in\MKnatural\)):\[ \det A_{\left(j\right)}=\left(\det A\right)\cdot x_{j} \]
הוכחה. נניח שקיים \(x\in\MKfield^{n}\) כך ש-\(x^{t}\cdot A=b^{t}\) ויהי \(x\) כנ"ל, מהתכונות של המטריצה המשוחלפת נובע כי:\[
A^{t}\cdot x=\left(x^{t}\cdot A\right)^{t}=\left(b^{t}\right)^{t}=b
\]ולכן מלמה 3.1 נקבל שמתקיים (לכל \(n\geq j\in\MKnatural\)):\[
\det A_{\left(j\right)}=\det\left(A_{\left(j\right)}\right)^{t}=\det\left(A^{t}\right)^{\left(j\right)}=\left(\det A^{t}\right)\cdot x_{j}=\left(\det A\right)\cdot x_{j}
\]
טענה 3.7. תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) ויהי \(b\in\MKfield^{n}\), מתקיים:\[
b^{t}\cdot\MKadj A=\begin{bmatrix}\det A_{\left(1\right)}\\
\det A_{\left(2\right)}\\
\vdots\\
\det A_{\left(n\right)}
\end{bmatrix}
\]כאשר \(A_{\left(j\right)}\) היא המטריצה המתקבלת מ-\(A\) ע"י החלפת השורה ה-\(j\) ב-\(b\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
הוכחה. מהגדרה, הקואורדינטה ה-\(j\) של מטריצת השורה \(b^{t}\cdot\MKadj A\) היא (לכל \(n\geq j\in\MKnatural\)):\[
\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot\left[\MKadj A\right]_{\boldsymbol{{\color{red}i}{\color{blue}j}}}=\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left|A_{\boldsymbol{{\color{blue}j}{\color{red}i}}}\right|
\]וזהו בדיוק פיתוח הדטרמיננטה של \(A_{\left(j\right)}\) לפי השורה ה-\(j\) (לכל \(n\geq j\in\MKnatural\)).
מסקנה 3.8. תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) ויהי \(b\in\MKfield^{n}\),
- אם קיים \(x\in\MKfield^{n}\) כך ש-\(A\cdot x=b\) אז עבור אותו \(x\) מתקיים \(\left(\MKadj A\right)\cdot b=\left(\det A\right)\cdot x\).
- אם קיים \(x\in\MKfield^{n}\) כך ש-\(x^{t}\cdot A=b^{t}\) אז עבור אותו \(x\) מתקיים \(b^{t}\cdot\MKadj A=\left(\det A\right)\cdot x^{t}\).
מסקנה 3.9. המשפט המרכזי של המטריצה המצורפת
לכל מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים:\[ \left(\MKadj A\right)\cdot A=\left(\det A\right)\cdot I_{n}=A\cdot\MKadj A \]
לכל מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים:\[ \left(\MKadj A\right)\cdot A=\left(\det A\right)\cdot I_{n}=A\cdot\MKadj A \]
מסקנה 3.10. לכל מטריצה הפיכה \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים:\[\begin{align*}
P^{-1} & =\frac{1}{\det P}\cdot\MKadj P\\
\MKadj P & =\left(\det P\right)\cdot P^{-1}
\end{align*}\]
מסקנה 3.11. לכל שתי מטריצות הפיכות \(P,Q\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים \(\MKadj\left(PQ\right)=\MKadj Q\cdot\MKadj P\).
מסקנה 3.12. מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) היא הפיכה אם"ם \(\MKadj A\) הפיכה, ובמקרה כזה מתקיים \(\left(\MKadj A\right)^{-1}=\MKadj\left(A^{-1}\right)\).
מסקנה 3.13. לכל מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים:\[
\det\left(\MKadj A\right)=\left(\det A\right)^{n-1}
\]
הוכחה. מהמשפט המרכזי של המטריצה המצורפת ומהמולטי-ליניאריות של הדטרמיננטה נובע כי:\[
\det A\cdot\det\left(\MKadj A\right)=\det\left(A\cdot\MKadj A\right)=\det\left(\left(\det A\right)\cdot I_{n}\right)=\left(\det A\right)^{n}\cdot\det I_{n}=\left(\det A\right)^{n}
\]כעת אם \(A\) הפיכה אז \(\det A\neq0\) וממילא \(\det\left(\MKadj A\right)=\left(\det A\right)^{n-1}\), ואם \(A\) אינה הפיכה אז ע"פ מסקנה 3.10 גם \(\MKadj A\) אינה הפיכה וממילא \(\det\left(\MKadj A\right)=0=\left(\det A\right)^{n-1}\).
מסקנה 3.14. לכל מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) ולכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\det\left(\underset{\text{k פעמים}}{\underbrace{\MKadj\left(\MKadj\left(\ldots\left(\MKadj A\right)\right)\right)}}\right)=\left(\det A\right)^{\left(n-1\right)^{k}}
\]
טענה 3.15. תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצה, מתקיים אחד משלושת הפסוקים הבאים:
- אם \(\MKrank A=n\) אז \(\MKrank\left(\MKadj A\right)=n\).
- אם \(\MKrank A=n-1\) אז \(\MKrank\left(\MKadj A\right)=1\).
- אם \(\MKrank A<n-1\) אז \(\MKrank\left(\MKadj A\right)=0\) (כלומר \(\MKadj A=0_{n}\)).
הוכחה. \(\:\)
- סעיף
- מהמשפט המרכזי של המטריצה המצורפת נובע שאם \(A\) אינה הפיכה אז \(T_{A}\circ T_{\MKadj A}\) היא העתקת האפס, וממילא \(\MKim T_{\MKadj A}\subseteq\ker T_{A}\); ממשפט הדרגה נקבל שמתקיים:\[\begin{align*} {\color{red}\MKrank\left(\MKadj A\right)} & =\MKrank\left(T_{\MKadj A}\right)=\dim\left(\MKim T_{\MKadj A}\right){\color{red}\leq}\dim\left(\ker T_{A}\right)=\dim\left(\MKfield^{n}\right)-\dim\left(\MKim T_{A}\right)\\ & =n-\MKrank T_{A}=n-\MKrank A=n-\left(n-1\right)={\color{red}1} \end{align*}\]מצד שני כשעסקנו במטריצות ראינו שהדרגה של מטריצה היא הדרגה של תת-המטריצה ההפיכה הגדולה ביותר שלה, במקרה שלנו זה אומר שיש ל-\(A\) תת-מטריצה הפיכה מגודל \(n-1\times n-1\) - כלומר יש ל-\(A\) מינור הפיך וממילא ע"פ הגדרת המטריצה המצורפת אחת הקואורדינטות של \(\MKadj A\) אינה \(0\) ו-\(\MKrank\left(\MKadj A\right)\geq1\), א"כ \(\MKrank\left(\MKadj A\right)=1\).
- שוב, ראינו שהדרגה של מטריצה היא הדרגה של תת-המטריצה ההפיכה הגדולה ביותר שלה, מכאן שאם \(\MKrank A<n-1\) אז אין ל-\(A\) מינור הפיך ולכן \(\MKadj A=0_{n}\) ע"פ הגדרה.
טענה 3.16. לכל מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים \(\MKadj A^{t}=\left(\MKadj A\right)^{t}\).
הוכחה. מהגדרה ומהעובדה שהדטרמיננטה של מטריצה ריבועית שווה לזו של המשוחלפת שלה נובע כי (לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\)):\[
\left[\MKadj A^{t}\right]_{\boldsymbol{{\color{red}i}{\color{blue}j}}}=\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left|\left(A^{\boldsymbol{{\color{green}t}}}\right)_{\boldsymbol{{\color{blue}j}{\color{red}i}}}\right|=\left(-1\right)^{i+j}\cdot\left|A_{\boldsymbol{{\color{red}i}{\color{blue}j}}}\right|=\left[\MKadj A\right]_{\boldsymbol{{\color{blue}j}{\color{red}i}}}
\]
3.4 מטריצת ונדרמונד
משפט 3.17. תהא \(V\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מטריצת ונדרמונד עבור ערכים \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in\MKfield\), כלומר:\[
V:=\begin{bmatrix}1 & x_{1} & \left(x_{1}\right)^{2} & \dots & \left(x_{1}\right)^{n-1}\\
1 & x_{2} & \left(x_{2}\right)^{2} & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-1}\\
1 & x_{3} & \left(x_{3}\right)^{2} & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & x_{n} & \left(x_{n}\right)^{2} & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-1}
\end{bmatrix}
\]מתקיים:\[
\det V=\prod_{n\geq i,j\in\MKnatural\ i<j}\left(x_{j}-x_{i}\right)
\]
הוכחה. נוכיח את הטענה באינדוקציה, עבור \(n=1\) הטענה טריוויאלית21אם \(n=1\) אז \(V=I_{1}\) ולכן \(\det V=1\), כמו כן אם \(n=1\) אז המכפלה הנ"ל ריקה ולכן גם היא שווה ל-\(1\) מהגדרה. ולכן נעבור ישירות לצעד האינדוקציה, א"כ נניח שהטענה מתקיימת עבור \(n-1\).
נוסיף לעמודה ה-\(n\) את העמודה ה-\(n-1\) כשהיא מוכפלת ב-\(-x_{1}\), לאחר מכן נוסיף את העמודה ה-\(n-2\) לעמודה ה-\(n-1\) כשהיא מוכפלת ב-\(-x_{1}\) וכן הלאה עד שנוסיף לעמודה השנייה את העמודה הראשונה כשהיא מוכפלת ב-\(-x_{1}\); מהתכונה השנייה של פונקציות נפח נובע שלא שינינו את הדטרמיננטה של המטריצה ולכן:\[\begin{align*} \det V & =\left|\begin{array}{ccccc} 1 & x_{1} & \left(x_{1}\right)^{2} & \dots & \left(x_{1}\right)^{n-1}\\ 1 & x_{2} & \left(x_{2}\right)^{2} & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-1}\\ 1 & x_{3} & \left(x_{3}\right)^{2} & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n} & \left(x_{n}\right)^{2} & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-1} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & x_{1}-x_{1} & \left(x_{1}\right)^{2}-x_{1}\cdot x_{1} & \dots & \left(x_{1}\right)^{n-1}-\left(x_{1}\right)^{n-2}\cdot x_{1}\\ 1 & x_{2}-x_{1} & \left(x_{2}\right)^{2}-x_{2}\cdot x_{1} & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-1}-\left(x_{2}\right)^{n-2}\cdot x_{1}\\ 1 & x_{3}-x_{1} & \left(x_{3}\right)^{2}-x_{3}\cdot x_{1} & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-1}-\left(x_{3}\right)^{n-2}\cdot x_{1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n}-x_{1} & \left(x_{n}\right)^{2}-x_{n}\cdot x_{1} & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-1}-\left(x_{n}\right)^{n-2}\cdot x_{1} \end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & x_{2}-x_{1} & x_{2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right)\\ 1 & x_{3}-x_{1} & x_{3}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n}-x_{1} & x_{n}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) \end{array}\right| \end{align*}\]מפיתוח הדטרמיננטה לפי השורה הראשונה נובע שמתקיים:\[ \det V=1\cdot\left|\begin{array}{cccc} x_{2}-x_{1} & x_{2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right)\\ x_{3}-x_{1} & x_{3}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_{n}-x_{1} & x_{n}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) \end{array}\right| \]ומהעובדה שהדטרמיננטה מולטי-ליניארית לפי שורות נובע כי:\[ \det V=\left|\begin{array}{cccc} x_{2}-x_{1} & x_{2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right)\\ x_{3}-x_{1} & x_{3}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_{n}-x_{1} & x_{n}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) \end{array}\right|=\prod_{i=2}^{n}\left(x_{i}-x_{1}\right)\cdot\left|\begin{array}{cccc} 1 & x_{2} & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-2}\\ 1 & x_{3} & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n} & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-2} \end{array}\right| \]המטריצה שבאגף ימין היא מטריצת ונדרמונד עבור הערכים \(x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}\) ולכן ע"פ הנחת האינדוקציה מתקיים:\[ \det V=\prod_{i=2}^{n}\left(x_{i}-x_{1}\right)\cdot\prod_{n\geq i,j\in\MKnatural\ 1<i<j}\left(x_{j}-x_{i}\right)=\prod_{n\geq i,j\in\MKnatural\ i<j}\left(x_{j}-x_{i}\right) \]
נוסיף לעמודה ה-\(n\) את העמודה ה-\(n-1\) כשהיא מוכפלת ב-\(-x_{1}\), לאחר מכן נוסיף את העמודה ה-\(n-2\) לעמודה ה-\(n-1\) כשהיא מוכפלת ב-\(-x_{1}\) וכן הלאה עד שנוסיף לעמודה השנייה את העמודה הראשונה כשהיא מוכפלת ב-\(-x_{1}\); מהתכונה השנייה של פונקציות נפח נובע שלא שינינו את הדטרמיננטה של המטריצה ולכן:\[\begin{align*} \det V & =\left|\begin{array}{ccccc} 1 & x_{1} & \left(x_{1}\right)^{2} & \dots & \left(x_{1}\right)^{n-1}\\ 1 & x_{2} & \left(x_{2}\right)^{2} & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-1}\\ 1 & x_{3} & \left(x_{3}\right)^{2} & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n} & \left(x_{n}\right)^{2} & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-1} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & x_{1}-x_{1} & \left(x_{1}\right)^{2}-x_{1}\cdot x_{1} & \dots & \left(x_{1}\right)^{n-1}-\left(x_{1}\right)^{n-2}\cdot x_{1}\\ 1 & x_{2}-x_{1} & \left(x_{2}\right)^{2}-x_{2}\cdot x_{1} & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-1}-\left(x_{2}\right)^{n-2}\cdot x_{1}\\ 1 & x_{3}-x_{1} & \left(x_{3}\right)^{2}-x_{3}\cdot x_{1} & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-1}-\left(x_{3}\right)^{n-2}\cdot x_{1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n}-x_{1} & \left(x_{n}\right)^{2}-x_{n}\cdot x_{1} & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-1}-\left(x_{n}\right)^{n-2}\cdot x_{1} \end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & x_{2}-x_{1} & x_{2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right)\\ 1 & x_{3}-x_{1} & x_{3}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n}-x_{1} & x_{n}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) \end{array}\right| \end{align*}\]מפיתוח הדטרמיננטה לפי השורה הראשונה נובע שמתקיים:\[ \det V=1\cdot\left|\begin{array}{cccc} x_{2}-x_{1} & x_{2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right)\\ x_{3}-x_{1} & x_{3}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_{n}-x_{1} & x_{n}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) \end{array}\right| \]ומהעובדה שהדטרמיננטה מולטי-ליניארית לפי שורות נובע כי:\[ \det V=\left|\begin{array}{cccc} x_{2}-x_{1} & x_{2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{2}-x_{1}\right)\\ x_{3}-x_{1} & x_{3}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{3}-x_{1}\right)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_{n}-x_{1} & x_{n}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-2}\cdot\left(x_{n}-x_{1}\right) \end{array}\right|=\prod_{i=2}^{n}\left(x_{i}-x_{1}\right)\cdot\left|\begin{array}{cccc} 1 & x_{2} & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-2}\\ 1 & x_{3} & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n} & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-2} \end{array}\right| \]המטריצה שבאגף ימין היא מטריצת ונדרמונד עבור הערכים \(x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}\) ולכן ע"פ הנחת האינדוקציה מתקיים:\[ \det V=\prod_{i=2}^{n}\left(x_{i}-x_{1}\right)\cdot\prod_{n\geq i,j\in\MKnatural\ 1<i<j}\left(x_{j}-x_{i}\right)=\prod_{n\geq i,j\in\MKnatural\ i<j}\left(x_{j}-x_{i}\right) \]
מסקנה 3.18. מטריצת ונדרמונד \(V\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) עבור ערכים \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in\MKfield\) היא הפיכה אם"ם \(x_{i}\neq x_{j}\) לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\).
- \(\clubsuit\)
- אנחנו יודעים ששתי נקודות מגדירות ישר יחיד (כלומר פולינום ממעלה \(1\)) ואילו שלוש נקודות מגדירות פרבולה יחידה (כלומר פולינום ממעלה \(2\)), מה לגבי פולינומים ממעלה גבוהה יותר?
- \(\clubsuit\)
- כלומר \(n+1\) נקודות במישור שערכי ה-\(x\) שלהן שונים מגדירות פולינום יחיד ממעלה \(n\) שעובר בכולן.
מסקנה 3.19. לכל \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in\MKfield\) כך שלכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\) ולכל \(y_{1},y_{2}.\ldots,y_{n}\in\MKfield\) קיים פולינום יחיד \(P\in\MKfield_{\leq n-1}\left[x\right]\) כך ש-\(y_{i}=P\left(x_{i}\right)\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
הוכחה. יהיו \(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\in\MKfield\) כך שלכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\), ויהיו \(y_{1},y_{2}.\ldots,y_{n}\in\MKfield\). נסמן:\[
V:=\begin{bmatrix}1 & x_{1} & \left(x_{1}\right)^{2} & \dots & \left(x_{1}\right)^{n-1}\\
1 & x_{2} & \left(x_{2}\right)^{2} & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-1}\\
1 & x_{3} & \left(x_{3}\right)^{2} & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & x_{n} & \left(x_{n}\right)^{2} & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-1}
\end{bmatrix},\ y=\begin{bmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
y_{3}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{bmatrix}
\]ממסקנה 3.12 נובע ש-\(V\) הפיכה ומכאן שקיים \(a\in\MKfield^{n}\) יחיד כך ש-\(V\cdot a=y\), כלומר קיימים \(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n-1}\in\MKfield\) יחידים המקיימים:\[
\begin{bmatrix}1 & x_{1} & \left(x_{1}\right)^{2} & \dots & \left(x_{1}\right)^{n-1}\\
1 & x_{2} & \left(x_{2}\right)^{2} & \dots & \left(x_{2}\right)^{n-1}\\
1 & x_{3} & \left(x_{3}\right)^{2} & \dots & \left(x_{3}\right)^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & x_{n} & \left(x_{n}\right)^{2} & \dots & \left(x_{n}\right)^{n-1}
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}a_{0}\\
a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{n-1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
y_{3}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{bmatrix}
\]מהגדרת כפל מטריצה בווקטור נקבל שקיימים \(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{n-1}\in\MKfield\) יחידים המקיימים:\[\begin{align*}
y_{1} & =a_{0}+a_{1}\cdot x_{1}+a_{2}\cdot\left(x_{1}\right)^{2}+\ldots+a_{n-1}\cdot\left(x_{1}\right)^{n-1}\\
y_{2} & =a_{0}+a_{1}\cdot x_{2}+a_{2}\cdot\left(x_{2}\right)^{2}+\ldots+a_{n-1}\cdot\left(x_{2}\right)^{n-1}\\
y_{3} & =a_{0}+a_{1}\cdot x_{3}+a_{2}\cdot\left(x_{3}\right)^{2}+\ldots+a_{n-1}\cdot\left(x_{3}\right)^{n-1}\\
\vdots & \vdots\\
y_{n} & =a_{0}+a_{1}\cdot x_{n}+a_{2}\cdot\left(x_{n}\right)^{2}+\ldots+a_{n-1}\cdot\left(x_{n}\right)^{n-1}
\end{align*}\]כלומר קיים פולינום יחיד \(P\in\MKfield_{\leq n-1}\left[x\right]\) כך ש-\(y_{i}=P\left(x_{i}\right)\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).